Отказ от Аксиомы полноты.

[Oleg Zubelevich]

там только надо чуть аккуратней, если мы говорим, что множество действительных чисел это множество пар.
потому, что если $a$ рационально, то его можно задать двумя разными парами
$(-\infty,a],(a,\infty)$

$(-\infty,a),[a,\infty)$

[Neos]

hedgehogues, множество вещественных чисел - это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Вы хотите оставить
только рациональные. Но их "количество" или мощность меньше, чем
мощность множества иррациональных чисел. Вы хотите "выбросить"
БОЛЬШУЮ часть чисел. Для прикладных задач, численных расчетов этого, наверное, достаточно. Но, о непрерывности не может быть и речи.

[Oleg Zubelevich]

Neos в сообщении #766478 писал(а):

Но, о непрерывности не может быть и речи

это в каком смысле?

[Neos]

Между любыми двумя рациональными числами можно вставить
бесконечное число иррациональных. Поэтому "числовая ось" состоящая
только из рациональных чисел не будет непрерывной. Точку можно
выбрать с любой точностью, но все равно это дискретное, счетное множество.

[ИСН]

Вы всё правильно говорите, только неправильными словами. Дискретное множество - это такое, у которого все точки изолированы. Явно не наш случай. С непрерывностью числовой оси та же фигня: по-моему, такого понятия вообще нет, но если его как-то согласованно определить, то непрерывность будет налицо. Разрывов нет же.

-- менее минуты назад --

Смутное ощущение, что во множестве одних рациональных чисел чего-то не хватает, формализуется другими критериями и другими терминами ("полнота", например).

[Oleg Zubelevich]

Процедуру можно несколько упростить. Каждому действительному числу взаимно однозначно сопоставлено непустое множество $M\subset\mathbb{Q}$ такое, что

1) множество $M$ ограничено сверху и не имеет максимального элемента
2) если $x\in M$ и $y<x$ то $y\in M$

[iifat]

Подозреваю, ТС хочет повторить приём с Дедекиндовыми сечениями уже на множестве действительных чисел и посмотреть, не получится ли из этого какое-то большее множество. Думаю, не получится.

[ewert]

iifat в сообщении #766840 писал(а):

Думаю, не получится.

Зачем это думать-то, если это стандартная и обязательная теорема?

[iifat]

ewert в сообщении #766849 писал(а):

Зачем это думать-то, если это стандартная и обязательная теорема?

Дык помнить-то давно уж не получается. Приходится думать

[ewert]

Я почему спросил про обязательность: потому, что существование разделяющих элементов (или, что то же -- всех супремумов) есть цель дедекиндова подхода. И если б тот подход сей цели в конце концов не достигал, то кому он и нужен-то был бы. К сожалению, ТС, судя по всему, пытается вникнуть в формалистику, ни разу не понимая её направленности.