Если угодно множество

состоит из пар

где множества

таковы, что
для любого

и

верно неравенство

и пересечение

пусто; и любое рациональное число находится либо в

либо в

Как доказать, исходя из Вашего определения, что нельзя сделать ни одного сечения в таком множестве (т.е. что оно полно)?
-- 22.09.2013, 01:10 --Я плохо понимаю, в чем у Вас проблема.
Множество действительных чисел по Дедекинду строится на основе множества рациональных чисел. То есть вот есть у нас множество

. Оно у нас раньше как-то построено, из натуральных. Мы берем и называем действительным числом сечение множества рациональных, то есть разбиение множества

, которое удовлетворяет каким-то там условиям. Множество действительных чисел

--- это множество всех таких разбиений. Если хочется, тут можно формулу теории множеств написать, типа

А дальше на этом множестве мы вводим операции сложения-умножения и доказываем, что оно является полем, существует вложение

в

и выполняются разные другие аксиомы, упорядоченность там, архимедовость, полнота и т.п.
Окай, спасибо за задание множества.
Но, что вот это такое:

?
0. Можно ли представить комплексное число, как-то по-другому?
1. Можно ли отказаться от аксиомы полноты? Что произойдет?
2. Можно ли сделать сечение в области рациональных числе без аксиомы полноты? Что за множество сечений мы получим?
3. Можно ли в множестве из п. 2 сделать еще сечение? Что получится за множество?
4. До каких пор можно строить множества сечений таким образом?
5. Какие функции можно использовать в данных сечениях? Можно ли что-то использовать помимо элементарных функций (приведите пример)?