интеграл от экспоненты

[salang]

$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-a x^4+b x^2) dx$ или $\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-a x^4-b x^2) dx$ возможно рассчитать аналитически?

[Ms-dos4]

$\[\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - a{x^4} - b{x^2}}}dx} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{b}{a}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{8a}}}}{K_{\frac{1}{4}}}(\frac{{{b^2}}}{{8a}})\]$
$\[K\]$ - ф-я Бесселя второго рода.
(Естественно, $\[a,b > 0\]$)

[salang]

спасибо за ответ. Условия положительности a и b, разумеется, выполняются. Мне надо интегрировать по обоим координатам, поэтому хотелось бы узнать решение второго интеграла
$\[\int\limits_{ - \infty }^\infty {\sqrt{c+dx^2}{e^{ - a{x^4} - b{x^2}}{K_{\frac{1}{4}}}\left( f+gx^2+hx^4 \right)dx}\]$

[Ms-dos4]

Сомневаюсь, что такой интеграл можно взять в общем виде и аналитически. Скорее всего придётся считать численно.

[salang]

указанную цилиндрическую функцию возможно аппроксимировать экспонентой со второй или четвертой степенью аргумента?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Ms-dos4]

salang
Она в нуле на бесконечность уходит, на бесконечности в нуль. Так что экспонентой, зависящей именно от $\[a{x^4} + b{x^2}\]$ (т.е. $\[{e^{a{x^4} + b{x^2}}}\]$) аппроксимировать не удастся. Я знаю, что эта функция раскладывается в ряд по гамма функциям. + если у вас $\[x \gg 0\]$, а точнее $\[f + g{x^2} + h{x^4} \gg 0\]$, то можно использовать асимптотики.

[salang]

после подстановки реальных значений получилось, что аргумент функции Бесселя принимает значения в диапазоне $\pm10^{15}$, поэтому не получается аппроксимировать во всем диапазоне значений. Придется делать численно. Mathcad справится с численный решением такого интеграла или придется изучать Matlab ?

[Ms-dos4]

salang
Поставьте Mathematica 9 или Maple 17, умеют делать практически всё, а для вычислений интегралов(в т.ч. численно) нужно минимум знаний.
(Для справки - в математике например мод.ф. Бесселя второго рода выражается как $\[{\mathop{\rm BesselK}\nolimits} [n,z]\]$).
Про маткад я мало что знаю, поэтому ответить не могу.

[salang]

изучение c нуля Mathematica проще чем Matlab ?

[Ms-dos4]

salang
Системы вообще разные, сравнивать некорректно. Они и для разных задач предназначены. В вашем случае у математики преимущество в том, что там практически не нужно учить "язык".

[salang]

можете порекомендовать пару книг и где взять готовые примеры для упрощения изучения (желательно примеры использования свертки функций)? Там просто так даже знак равенства не поставить.

[Ms-dos4]

salang
Я в общем сам её учил, что непонятно лез во внутреннюю справку либо отдельно гуглил.
(А знак равентсва там ==)

[Aritaborian]

salang, читайте справку (Documentation Center), она великолепна и содержит всё, что нужно знать (если у вас нет проблем с английским, конечно ;-).