Признаки неприводимости над Q. Группа Галуа.

[enko]

Приветствие.
Какие есть признаки, кроме пр.Эизенштейна, неприводимости полинома над Q?
Есть ли связь между группой Галуа полинома и его неприводимостью?
Какие есть способы практического вычисления групп Галуа?
Заранее, спасибо.

[maxal]

См. книгу Многочлены, статью Galois Theory And Reducible Polynomials и пакет GAP.

[enko]

maxal писал(а):

См. книгу Многочлены, статью Galois Theory And Reducible Polynomials и пакет GAP.

спасибо, книга супер!
Но по вопросу о связи группы Галуа и неприводимостью полинома не могу понять, вообще связь есть или нет?

[TTT]

Группа Галуа полинома - это группа Галуа расширенного поля, в котором этот полином раскладывается полностью на линейные множители.
Каждый автоморфизм в этом поле перемешивает корни этого полинома. Т.е. группа Галуа является подгруппой симметрической группы $S_n, n-$число корней полинома.
ну какая тут связь? Прямая вроде.
на группу Галуа полинома влияет "сложность" корней полинома. Например, если присоединением к базовому полю одного из них мы получаем поле разложения этого полинома, то группа Галуа в этом случаем будет циклической.
В общем случае присоединение одного корня даёт поле, в котором этот полином раскладывается, но не до конца. чтобы добраться до конца, необходимо сделать несколько таких последовательных присоединений (башня расширений).
ну может вопрос неправильно понял

[enko]

TTT писал(а):

ну может вопрос неправильно понял

Вопрос такой: дан произвольный полином над Q , как по его группе галуа судить о его неприводимости или приводимости, точнее какой должна быть группа галуа, чтобы полином был неприводимым над Q ?.

[maxal]

enko писал(а):

Вопрос такой: дан произвольный полином над Q , как по его группе галуа судить о его неприводимости или приводимости, точнее какой должна быть группа галуа, чтобы полином был неприводимым над Q ?.

Если группа Галуа транзитивна, то полином неприводим. И наоборот.

[lofar]

TTT писал(а):

... на группу Галуа полинома влияет "сложность" корней полинома. Например, если присоединением к базовому полю одного из них мы получаем поле разложения этого полинома, то группа Галуа в этом случаем будет циклической ...

Это не так.

[enko]

maxal
Спасибо, вы рассеяли мои сомнения на счет транзитивности, я так и предполагал.
Как вы думаете, насколько эффективным является способ определяющего полинома для нахождения группы галуа, или есть более эффективные?

[lofar]

maxal писал(а):

Если группа Галуа транзитивна, то полином неприводим. И наоборот.

Небольшая поправка.
Группа Галуа непостоянного полинома действует транзитивно на его корнях тогда и только тогда, когда этот полином примарен.

[sasha_vertreter]

maxal в сообщении #76360 писал(а):

enko писал(а):

Вопрос такой: дан произвольный полином над Q , как по его группе галуа судить о его неприводимости или приводимости, точнее какой должна быть группа галуа, чтобы полином был неприводимым над Q ?.

Если группа Галуа транзитивна, то полином неприводим. И наоборот.

скажите а понятие "транзитивна" и "разрешима" для группы как-то связаны правильно ?

а можете пояснить как?

[AV_77]

sasha_vertreter в сообщении #272504 писал(а):

скажите а понятие "транзитивна" и "разрешима" для группы как-то связаны правильно ?

а можете пояснить как?

Никак не связаны.

[sasha_vertreter]

AV_77 в сообщении #274198 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #272504 писал(а):

скажите а понятие "транзитивна" и "разрешима" для группы как-то связаны правильно ?

а можете пояснить как?

Никак не связаны.

то есть из транзитивности никак не следует разрешима ли группа или нет - верно?

[AV_77]

Верно. Транзитивная группа может быть как разрешимой, так и не разрешимой.