Группа Галуа полинома - это группа Галуа расширенного поля, в котором этот полином раскладывается полностью на линейные множители.
Каждый автоморфизм в этом поле перемешивает корни этого полинома. Т.е. группа Галуа является подгруппой симметрической группы

число корней полинома.
ну какая тут связь? Прямая вроде.
на группу Галуа полинома влияет "сложность" корней полинома. Например, если присоединением к базовому полю одного из них мы получаем поле разложения этого полинома, то группа Галуа в этом случаем будет циклической.
В общем случае присоединение одного корня даёт поле, в котором этот полином раскладывается, но не до конца. чтобы добраться до конца, необходимо сделать несколько таких последовательных присоединений (башня расширений).
ну может вопрос неправильно понял
