Образ единицы кольца

[Alex_CAPS]

Доброго всем времени суток!
Решаю следующую задачу:
Пусть $A$ и $B$ - кольца с единицей. $\varphi: A \to B$ - гомоморфизм. При каких условиях образ единицы кольца $A$ является единицей кольца $B$?

-- 18.09.2013, 00:04 --

Первая мысль: если отображение является изоморфизмом, то единица отобразится в единицу.

[bot]

Что единица отобразится в единицу образа верно для любого гомоморфизма.

[nnosipov]

bot в сообщении #764930 писал(а):

Что единица отобразится в единицу образа верно для любого гомоморфизма.

Если это заложено в определение гомоморфизма, то да. А если нет, то, вообще говоря, нет. Но если речь идёт об эпиморфизме, то снова да.

[Barabashka]

Наверное, отображение должно быть суръективным.

[provincialka]

Barabashka в сообщении #764970 писал(а):

Наверное, отображение должно быть суръективным.

Ну, это вряд ли! Существуют же подкольца! Гомоморфизм из $A$ в какое-нибудь подкольцо $B_1\subset B$ переведет единицу в себя, но не будет сюръекцией.

[Barabashka]

Я исходил из мысли, что образ должен быть кольцом, тогда наличие единицы в прообразе и гомоморфизма обязывает имет единицу у кольца или подкольца, а в подкольце не может быть иной единицы. У меня возник вопрос, а гомоморфизм обязывает образ быть кольцом???

[bot]

nnosipov в сообщении #764950 писал(а):

Если это заложено в определение гомоморфизма, то да.

Речь ведь о кольцах вообще, а не о кольцах с единицей, то есть единицы в сигнатуре, вообще говоря, нет.

Barabashka в сообщении #764992 писал(а):

гомоморфизм обязывает образ быть кольцом?

Да, обязывает, при этом неважно присутствуют в сигнатуре 0 и операция противоположного или кольцо задано только в терминах сложения и умножения, а упомянутые операции заданы с использованием кванторов.

[Barabashka]

Цитата:

Да, обязывает, при этом неважно присутствуют в сигнатуре 0 и операция противоположного или кольцо задано только в терминах сложения и умножения, а упомянутые операции заданы с использованием кванторов.

А гомоморфизм обязывает образ иметь свойства прообраза? Если да, то есть доказательство?

[provincialka]

Есть определение. Что же тогда гомоморфизм? Это отображение, сохраняющее свойства объекта, но "в одну сторону". То есть с образа на прообраз они, вообще говоря, не переносятся.

-- 18.09.2013, 12:07 --

Не думала внимательно, так, в порядке "мозгового штурма". Может, достаточно предположить, что единицы является образом некоего элемента из $A$? То есть присутствует в его образе?

[bot]

Barabashka в сообщении #765007 писал(а):

А гомоморфизм обязывает образ иметь свойства прообраза?

Смотря какие свойства. Например, в кольце $\mathbb Z$ справедливо свойство $xy=0\Rightarrow (x=0\vee y=0)$, а в кольце $\mathbb Z_6$ это свойство не выполняется. Обратная же импликация справедлива в обоих.

[Barabashka]

Я плох в математике, уровень мой не добегает. Что такое $\mathbb Z_6$??? по модулю 6?

[bot]

Кольцо вычетов

[nnosipov]

bot в сообщении #765003 писал(а):

Речь ведь о кольцах вообще, а не о кольцах с единицей, то есть единицы в сигнатуре, вообще говоря, нет.

Я тоже так привык считать, но вот у Ленга в "Алгебре" (и не только у него) написано наоборот. Если так, то вот это утверждение:

bot в сообщении #764930 писал(а):

Что единица отобразится в единицу образа верно для любого гомоморфизма.

всё-таки неверно. Хотя под "образом" Вы понимаете $\varphi(A)$, а не $B$. Тогда верно. Но ТС интересует $B$.

[provincialka]

bot в сообщении #765020 писал(а):

Barabashka в сообщении #765007 писал(а):

А гомоморфизм обязывает образ иметь свойства прообраза?

Смотря какие свойства. Например, в кольце $\mathbb Z$ справедливо свойство $xy=0\Rightarrow (x=0\vee y=0)$, а в кольце $\mathbb Z_6$ это свойство не выполняется. Обратная же импликация справедлива в обоих.

Не вообще свойства, а те, которые входят в его определение. То есть для кольца сумма переходит в сумму и произведение в произведение. Наличие делителей нуля определением не предусмотрено.

[bot]

nnosipov в сообщении #765046 писал(а):

Хотя под "образом" Вы понимаете $\varphi(A)$

А что ещё понимается под образом отображения?

provincialka в сообщении #765073 писал(а):

Не вообще свойства, а те, которые входят в его определение

После того, как было сказано, что аксиомы кольца сохраняются при гомоморфизме, мне и в голову не пришло, что можно спрашивать об этом же ещё раз.