Образ единицы кольца

[provincialka]

(Оффтоп)

ох-ох-ох, и не то еще можно. На днях принимала пересдачу у вечерников. Спрашиваю: что такое ряд? Это сумма. А сколько в ней слагаемых? $n$.
А вопрос был о сходимости. Слава богу, в этом году вечерников уже не набирали

[nnosipov]

bot в сообщении #765099 писал(а):

А что ещё понимается под образом отображения?

Слово "отображения" (или "гомоморфизма") там не было, что и вызвало путаницу: под образом можно было понять всё $B$.

[Barabashka]

Получается.

1. $f(A)$ - кольцо.
2. $f(e)f(a)=f(a)f(e)=f(ea)=f(a), \forall a \in A \Leftrightarrow f(e)b=b f(e)=b \forall b \in f(A) \Rightarrow f(e)$ - единица.

Если все верно, то в чем суть вопроса?

[provincialka]

Куда-то мы ушли в сторону. Какая была задача? Сформулирую, как поняла.

Пусть $f: A\to B$ - гомоморфизм колец, причем оба кольца имеют единицу. Будет ли единица $e=e_A$ преходить в единицу $e_B$?

Ясно, что $f(e)$ ведет себя как единица по отношению ко всем элемнтам $f(x)$. Так что вопрос сводится к такому: может ли в кольце с единицей существовать подкольцо, в котором роль единицы играет другой элемент, не $e_B$.

[Barabashka]

$ee'=e=e'$ - одна и та же единица. Кольцо не может иметь две единицы. Должно быть так.

[provincialka]

Ну, это можно написать, если $e'$ является единицей во всем кольце. А если только в подкольце?

[AV_77]

Пусть $A = \mathbb{Z}$, $B = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Определим два гомоморфима $f, g \colon A \to B$ следующим образом: $f(k) = (k, 0)$ и $g(k) = (k, k)$ для любого $k \in A$. Как $f$, так и $g$ являются вложениями, но во втором случае образом единицы $A$ является единица $B$, а в первом - нет. Это возможно из-за того, что кольцо $B$ содержит делители нуля. С целостными кольцами такого не получится.

[provincialka]

Еще один пример.
Рассмотрим матрицы вида $\begin{pmatrix}a&b\\-a& -b\end{pmatrix}$. Они образуют кольцо. Единицей в этом кольце будет $\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1& 2\end{pmatrix}$.

Теперь в качестве $f$ можно взять просто тождественное отображение в кольцо матриц $2\times 2$

[bot]

Странная единица - не принадлежащая кольцу.

[provincialka]

Да, я уже заметила. Пересчитала. Матрицы $\begin{pmatrix}a&a\\a&a\end{pmatrix}$, единица при $a=\frac12$.

[Alex_CAPS]

Отображение $\varphi: A \to B$ называется гомоморфизмом колец $A$ и $B$, если выполняются равенства
$\vatphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)$, $\varphi(ab) = \vatphi(a)\varphi(b)$
У меня была следующая мысль, которая не убедила преподавателя:
$\varphi(1a) = \varphi(1)\varphi(a)$
$\varphi(a) = a'$
$1a = a$, следовательно $\varphi(1a) = \varphi(a) = a'$
Из этого делаю вывод, что $\varphi(1) = 1'$ и для отображения единицы в единицу достаточно наличие в $B$ единичного элемента, отличного от 0.

[Joker_vD]

Как вы из "$\varphi(1)b=b$ для некоторых $b\in B$" делаете вывод "$\varphi(1)b=b$ для всех $b\in B$"?

[bot]

А AV_77 и provincialka дали контрпримеры.

[Barabashka]

Я так понимаю гомоморфизм не обязывает подкольцо иметь в качестве единицы, единиц всего кольца. Не находжу причин не иметь подкольцу единицу отличную от единицы всего кольца. Тогда чтобы единица подкольца была единицей кольца, можно выбрать условие для $B$ кольца $aa^{-1}=1, \forall a \in B$

[bot]

Семь вёрст до небес и всё мимо. В кольце даже с единицей не обязаны существовать обратимые элементы, кроме как для $\pm 1$. Кольцо целых чисел, к примеру.