Правда трудная задачка? (пирамида и шар)

[bin]

Наконец-то прочитал великую книгу: Математики тоже шутят / Автор-сост. С. Н. Федин. Изд. 2-е, испр. и доп. — М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. Очень, нпр., позабавило: $\sin [n!]=0$, при целом $n>5$ и в градусах (никогда не задумывался об этом прежде!) Но вопрос про С. 145.:

Цитата:

Случилось так, что соратник Ландау и его соавтор по десятитомному курсу по теоретической физике академик Евгений Михайлович Лифшиц (1915-1985) в 1959 году помогал выпускнику школы Боре Горобцу готовиться к поступлению в один из ведущих физических вузов Москвы. На письменном экзамене по математике в Московском физико-математическом институте предлагалась следующая задача: «В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, $\angle C = 90^{\circ} $, $AB = l$. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы $\alpha , \beta , \gamma$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара». Будущий профессор не справился тогда с задачей, но запомнил ее условие и позже сообщил Евгению Михайловичу. Тот, повозившись с задачей в присутствии ученика, не смог решить ее сходу и забрал с собой домой, а вечером позвонил и сообщил, что, не одолев ее в течение часа, предложил эту задачу Льву Давидовичу. Ландау обожал решать задачи, вызывавшие затруднения у других. Вскоре он перезвонил Лифшицу и, довольный, сказал: Задачу решил. Решал ровно час. Позвонил Зельдовичу, теперь решает он. (Поясним: Яков Борисович Зельдович (1914-1987) — известный ученый, считавший себя учеником Ландау, был в те годы главным физиком-теоретиком в сверхсекретном Советском Атомном проекте (о чем, конечно, тогда мало кто знал). Примерно через час Е. М. Лифшиц позвонил снова и сообщил: только что ему позвонил Зельдович и не без гордости сказал: „Решил я вашу задачу. За сорок минут решил!").

С окончания школы в 1975 г. не пришлось решать таких задачек (позабыл уже "детали навыка" Занимаюсь теорией графов, а там сплошная топология, если без визуализации ), но когда-то мы такие быстро решали (у нас была физмат школа). Кто не забыл: скажите трудная ли это задачка, а лучше с кратким решением - ИМХО, задачка простая, и я не понял почему Зубры столько думали. Или тут подводные камни? (А м.б. Зубры, как и я, школьную геометрию подзабыли? )
PS В сетке и на нашем форуме много похожих задачек, м.б. я не нашел - дайте ссылку, pls.

[provincialka]

Уже ночь, решение писать не буду. Читала по эту историю, у меня задача заняла не более 5 минут.

[ИСН]

На глаз что-то вроде $l\over\sqrt2\ctg{\alpha\over2}+\sqrt2\ctg{\beta\over2}+2\ctg{\gamma\over2}$

[bin]

provincialka в сообщении #763362 писал(а):

Уже ночь, решение писать не буду. Читала по эту историю, у меня задача заняла не более 5 минут.

Спасибо provinci(Алка)! Вы вернули мне веру в человечество!

(Оффтоп)

Простите, если неудачно пошутил с Вашим ником

[venco]

provincialka в сообщении #763362 писал(а):

у меня задача заняла не более 5 минут.

Аналогично - минуты 2-3. Не засёк с точностью до минуты, т.к. думал, что это не важно.

-- Чт сен 12, 2013 18:02:06 --

ИСН в сообщении #763365 писал(а):

На глаз что-то вроде $l\over\sqrt2\ctg{\alpha\over2}+\sqrt2\ctg{\beta\over2}+2\ctg{\gamma\over2}$

Именно так.

[EtCetera]

Кажется, равнобедренность тут не так важна, а вот без прямоугольности задача уже перестает быть устной.

[Deggial]

bin в сообщении #763367 писал(а):

Спасибо provinci(Алка)! Вы вернули мне веру в человечество!

bin, замечание за искажение и обсуждение ника собеседника.

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность):
Заметка из сборника математических шуток. Задача сама по себе не шуточная, ни в смысле какого-то парадокса, ни в смысле шуточной формы изложения. Нормальная задача "для поступающих", не на "озарение", а на регулярную работу.
Стало быть, шутка в чём-то ином. В том, что трое достаточно сильных математиков не справились с работой, рассчитанной на старательного школьника? Наверно, в этом, но этого явно мало. Возможно, кроме насмешки над тремя несправившимися мудрецами, есть и серьёзная мысль, каковые встречаются в шутках высшего уровня? И, пожалуй, она в том, что, заранее оценив задачу, как сверхсложную, и выбирая поэтому сложный путь решения, создаёшь трудности самому себе...

[bin]

Евгений Машеров
В книге эта заметка озаглавлена "Как академики задачу решали" и помещена в раздел "Забавные формулы, теоремы, задачи..." Правила Форума рекомендуют:

Цитата:

3. Описать общий ход решения, опустив технические детали, которые автор вопроса может восстановить самостоятельно.

Не могли бы Вы это сделать: кратко описать простой и сложный ход решения? Тогда будет понятен смысл "шутки высшего уровня". Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

bin в сообщении #763357 писал(а):

«В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, $\angle C = 90^{\circ} $, $AB = l$. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы $\alpha , \beta , \gamma$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара»

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $C$ и осями $X,Y$ проходящими через катеты треугольника. Ось $Z$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Уравнения биссекторных плоскостей для углов $\alpha , \beta , \gamma$ выписываются на раз. Остается только найти координаты центра вписанной сферы из системы линейных уравнений.

-- Пн сен 16, 2013 17:02:04 --

bin в сообщении #763357 писал(а):

понял почему Зубры столько думали

скореевсего, это просто сказки

[gris]

Можно определить координаты четвёртой вершины, а потом найти объём пирамиди и площади всех граней через векторные произведения. И разделить три объёма на площадь поверхности.

[EtCetera]

Oleg Zubelevich в сообщении #764399 писал(а):

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $C$ и осями $X,Y$ проходящими через катеты треугольника. Ось $Z$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Уравнения биссекторных плоскостей для углов $\alpha , \beta , \gamma$ выписываются на раз. Остается только найти координаты центра вписанной сферы из системы линейных уравнений.

Введем описанным Вами образом систему координат на плоскости $ABC$ и рассмотрим проекцию пирамиды на эту плоскость. Обозначим искомый радиус шара $r$. Тогда проекция центра шара имеет координаты $(r\ctg\frac{\alpha}{2}, r\ctg\frac{\beta}{2})$ и лежит на прямой $x\tg\angle BAC+y=l\sin\angle BAC-\frac{r\ctg\frac{\gamma}{2}}{\cos\angle BAC}$.

Oleg Zubelevich в сообщении #764399 писал(а):

bin в сообщении #763357 писал(а):

понял почему Зубры столько думали

скореевсего, это просто сказки

Наверняка. Однако теперь я понял, как эту задачу можно решать целый час.
Upd: поправил уравнение прямой.

[Oleg Zubelevich]

Целый час на систему трех линейных уравнений?

[Dave]

Моя идея решения такова. Пусть $O$ - центр описанного шара, $D$ - проекция этой точки на плоскость $ABC$; $A_1,\ B_1,\ C_1$ - проекции точки $D$ на стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Плоскость $DA_1O$ перпендикулярна плоскостям $ABC$ и $SBC$, поэтому точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\alpha$ и, стало быть, $DA_1=r \ctg \frac {\alpha} 2$, где $r=OD$ - искомый радиус вписанного шара. Аналогично можно найти $DB_1$ и $DC_1$. Длины сторон треугольника $ABC$ мы знаем. Значит можно двумя способами посчитать площадь этого треугольника: как $\frac {BC \cdot CA} 2$, а также как сумму площадей треугольников $ABD$, $BCD$ и $CAD$. Приравнять и получить $r$.

[EtCetera]

Oleg Zubelevich

Dave в сообщении #764437 писал(а):

Целый час на систему трех линейных уравнений?

Да нет, конечно. Но по сравнению с одним линейным уравнением система все-таки проигрывает. Лично на меня уже системы из двух уравнений наводят тоску. Хотя Ваш способ, конечно, обладает достаточно очевидными достатками.
Тут я мог бы еще заметить, что имел в виду не только Ваш способ, но не буду.

Dave

Dave в сообщении #764437 писал(а):

Моя идея решения такова.

Вот так даже лучше, спасибо.