супремум суммы дарбу = нижний интеграл дарбу

[Deggial]

102beta в сообщении #763154 писал(а):

Супремум мн-ва X - а такое, что для любого х из Х x<=a

102beta, замечание за неоформление формул $\TeX$ом. Набирайте формулы и термы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[ewert]

_hum_ в сообщении #763251 писал(а):

Супремум - это наименьшее из чисел, обладающее свойством "быть больше любого элемента множества".

Неверно, кстати. ТщательнЕе надо.

-- Пт сен 13, 2013 12:44:02 --

102beta в сообщении #763154 писал(а):

А конечное разбиение функции - разбиение функции на части, каждая из которых имеет длину, стремящуюся к нулю?

А вот эту формулировку неверной уже не назовёшь, она просто бессмысленна.

[_hum_]

ewert

(Оффтоп)

ewert в сообщении #763448 писал(а):

_hum_ в сообщении #763251 писал(а):

Супремум - это наименьшее из чисел, обладающее свойством "быть больше любого элемента множества".

Неверно, кстати. ТщательнЕе надо.

Ну, вы бы уже сразу тогда писали после "неверно" пояснение "поскольку", а то ведь тоже с методической точки зрения неправильно получается :)
А вообще, я в ковычках писал, тем самым вольно цитируя запись ТС (в том же посте); при этом старался акцентировать внимание на "больше" (оставляя за скобками "равно").

[102beta]

ewert в сообщении #763448 писал(а):

_hum_ в сообщении #763251 писал(а):

Супремум - это наименьшее из чисел, обладающее свойством "быть больше любого элемента множества".

Неверно, кстати. ТщательнЕе надо.

Супремум - это наименьшее из чисел, обладающее свойством "быть больше либо равным любого элемента множества", верно?

-- 15.09.2013, 21:03 --

ewert в сообщении #763448 писал(а):

102beta в сообщении #763154 писал(а):

А конечное разбиение функции - разбиение функции на части, каждая из которых имеет длину, стремящуюся к нулю?

А вот эту формулировку неверной уже не назовёшь, она просто бессмысленна.

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, верно?

-- 15.09.2013, 21:06 --

_hum_ в сообщении #763251 писал(а):

Упражнение. Найдите супремум и максимум (если таковой существует) для множества:
1) $X = [0,1]$
2) $X = [0,1)$
3) $X = \{1/n \,\,| n \in \mathbb{N}\}$
4) $X = \{2m + 3n \,\,|\, m, n \in \mathbb{N}, m + n = 4\}$

1)sup=1; max=1
2)sup=1; max не существует
3)sup=1; max=1
4)sup=12; max=12

-- 15.09.2013, 21:08 --

Что такое ранг дробления?

[Dan B-Yallay]

102beta в сообщении #764202 писал(а):

Что такое ранг дробления?

в каком контексте?

[provincialka]

Что касается фразы о разбиении, главная ошибка в том, что разбивается. Что такое "разбиение функции"? Разве функцию разбивают?

[Deggial]

102beta в сообщении #764202 писал(а):

1)sup=1; max=1
2)sup=1; max не существует
3)sup=1; max=1
4)sup=12; max=12

102beta, второе замечание за неоформление формул.

[ewert]

provincialka в сообщении #764207 писал(а):

Что такое "разбиение функции"? Разве функцию разбивают?

Это как раз семечки; подумаешь, вольность речи. Гораздо хуже другое: никакое конкретное разбиение (и, соответственно, никакая его характеристика) в принципе не может ни к чему стремиться. Ибо они фиксированы.

[provincialka]

В общем, автору вопроса надо основательно засесть за литературу и разобраться все же как строится интеграл, интегральные суммы и суммы Дарбу.

[_hum_]

102beta в сообщении #764202 писал(а):

_hum_ в сообщении #763251 писал(а):

Упражнение. Найдите супремум и максимум (если таковой существует) для множества:
1) $X = [0,1]$
2) $X = [0,1)$
3) $X = \{1/n \,\,| n \in \mathbb{N}\}$
4) $X = \{2m + 3n \,\,|\, m, n \in \mathbb{N}, m + n = 4\}$

1)sup=1; max=1
2)sup=1; max не существует
3)sup=1; max=1
4)sup=12; max=12

Вот. Видите, супремум с максимумом идут рука об руку. Потому, если вам сложно понимать смысл каких-то формул, содержащих выражение вида $\sup_{u\in U} F_u$ мысленно попробуйте заменить его на $\max_{u\in U} F_u$, которое по смыслу должно быть вам более понятно, а именно: макcимальное из тех значений, которые могут получаться по формуле $F_u$, если перебирать всевозможные варианты $u$ из множества $U$. Причем, обратите внимание, что $u$ не обязано быть числом, оно может быть любым другим объектом, в том числе, разбиением отрезка.

Упражнение. Пусть $\mathcal{T}$ - множество всех возможных конечных разбиений отрезка $[0,1]$, то есть, множество всевозможных наборов $\tau = (x_0, x_1,\dots, x_n)$, где $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = 1$, $n \in \mathbb{N}$.
Попробуйте найти $\sup_{\tau \in \mathcal{T}}F_\tau,\quad$ где $F_\tau = (-1)^1\cdot(x_1 - x_0) \,+ \, (-1)^2\cdot (x_2 - x_1) \,+\, \dots \,+\, (-1)^{n} \cdot (x_n - x_{n-1}).$

[102beta]

_hum_ в сообщении #764271 писал(а):

Упражнение. Пусть $\mathcal{T}$ - множество всех возможных конечных разбиений отрезка $[0,1]$, то есть, множество всевозможных наборов $\tau = (x_0, x_1,\dots, x_n)$, где $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = 1$, $n \in \mathbb{N}$.
Попробуйте найти $\sup_{\tau \in \mathcal{T}}F_\tau,\quad$ где $F_\tau = (-1)^1\cdot(x_1 - x_0) \,+ \, (-1)^2\cdot (x_2 - x_1) \,+\, \dots \,+\, (-1)^{n} \cdot (x_n - x_{n-1}).$

${\sup _{\tau \in {\rm T}}}{F_\tau } = 1$, можно рассмотреть разбиение $\tau = ({x_0},{x_1},{x_2})$, где ${x_0} = 0$, ${x_1}$ - очень маленькое, ${x_2} = 1$.

[102beta]

Dan B-Yallay в сообщении #764205 писал(а):

102beta в сообщении #764202 писал(а):

Что такое ранг дробления?

в каком контексте?

Если ранг дробления устремить к нулю, то $\mathop {\sup }\limits_\Lambda {\sigma _*}(D,f,\Lambda ) = \mathop {\inf }\limits_\Lambda {\sigma ^*}(D,f,\Lambda )$

[_hum_]

102beta в сообщении #765137 писал(а):

_hum_ в сообщении #764271 писал(а):

Упражнение. Пусть $\mathcal{T}$ - множество всех возможных конечных разбиений отрезка $[0,1]$, то есть, множество всевозможных наборов $\tau = (x_0, x_1,\dots, x_n)$, где $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = 1$, $n \in \mathbb{N}$.
Попробуйте найти $\sup_{\tau \in \mathcal{T}}F_\tau,\quad$ где $F_\tau = (-1)^1\cdot(x_1 - x_0) \,+ \, (-1)^2\cdot (x_2 - x_1) \,+\, \dots \,+\, (-1)^{n} \cdot (x_n - x_{n-1}).$

${\sup _{\tau \in {\rm T}}}{F_\tau } = 1$, можно рассмотреть разбиение $\tau = ({x_0},{x_1},{x_2})$, где ${x_0} = 0$, ${x_1}$ - очень маленькое, ${x_2} = 1$.

Угу.
Надеюсь, понятно, что в данном примере ни на одном конкретном разбиении $\tau$ значение $F_\tau$ не будет в точности достигать супремума (единицы), а может лишь приближаться к нему все ближе и ближе по мере все более и более "удачного" подбора разбиения (в вашем варинте [прим.: есть и другие] - разбиений с все меньшим и меньшим $x_0$).

Теперь, возвращаясь к вашему вопросу. Нижний интеграл Дарбу, формально, это ни что иное, как супремум по всевозможным разбиениям от $F_\tau = s_\tau = \sum_{i=1}^n m_i (x_{i} - x_{i-1})$, где $m_i$ - инфимум ("минимум") значений функции, которая та принимает на отрезке $[x_{i-1}, x_{i}]$. А содержательно, это "максимальное" значение, которое получается при приближении площади подграфика функции всевозможными нижними суммами Дарбу $s_\tau$.


(На рисунке значение нижней суммы Дарбу при заданном разбиении равна сумме площадей зеленых прямоугольников. [Понятно, почему?])


Упражнение. Пусть рассматривается функция $f(x) = x$ на отрезке [0,1].
1) Вычислите значение $s_\tau$ для разбиения:
a) $\tau = (0, 1/2, 1)$;
b) $\tau = (0, 1/4, 1/2, 3/4, 1)$.
2) Попробуйте найти $\sup_\tau s_\tau$.


П.С. Ранг дробления, скорее всего, это размер максимального интервала в разбиении. (см. мелкость разбиения, диаметр разбиения)

[ewert]

_hum_ в сообщении #765163 писал(а):

(см. мелкость разбиения, диаметр разбиения)

, но обычно это всё-таки называют рангом дробления (или пусть даже разбиения, но никак не диаметром)

[provincialka]

ewert в сообщении #765238 писал(а):

_hum_ в сообщении #765163 писал(а):

(см. мелкость разбиения, диаметр разбиения)

, но обычно это всё-таки называют рангом дробления (или пусть даже разбиения, но никак не диаметром)

это зависит от местности. Я всю жизнь говорила и слышала "диаметр разбиения", и только иногда - "мелкость". Про ранг и про дробление слышу в первый раз. По смыслу больше всего подходит мелкость, ранг - это что-то дискретное.