Кострикин. Снова линейность

[Barabashka]

Привет.

Пусть $L$ и $M$ - линейные пространства над полем $K$. $\lbrace l_1,\cdots,l_n\rbrace\subset L$ и $\lbrace m_1,\cdots,m_n\rbrace\subset M$ - два семейства векторов с одинаковым числом элементов. Тогда:
а)если линейная оболочка $\lbrace l_1,\cdots,l_n\rbrace$ совпадает с $L$, то существует не более одного линейного отображения $f:L\rightarrow M$, для которого $f(l_i)=m_i$ при всех $i$.

Доказательство. Пусть $f$ и $f'$ - пара отображений с $f(l_i)=f'(l_i)=m_i$ для всех $i$. Рассмотрим отображение $g=f-f'$, где $(f-f')(l)=f(l)-f'(l)$. Легко проверить, что оно линейно.

не получается проверить. На что надо обратить внимание?

Спасибо.

[gris]

Проверить выполнение свойств линеного отображения. Формально это группировка и вынесение за скобки общего множителя. Линейные отображения сами образуют линейное пространство.

[Barabashka]

Как я могу расскрыть скобки $(f-f')(l_1+l_2)=f(l_1+l_2)-f'(l_1+l_2)$ с правой стороны от знака равно. Там говориться, что это пара отображений. Не сказано, что они линейны. Или я вас неправильно понял?

[gris]

Barabashka в сообщении #763790 писал(а):

...то существует не более одного линейного отображения $f:...$

Раз начали говорить про линейные, то и дальше подразумеваются только линейные.

[Barabashka]

Хорошо, значит $f$ - линейное отображение.

[Oleg Zubelevich]

Линейный оператор однозначно определяется своими значениями на элементах базиса. Так как-то естественней звучит. И конечномерность, кстати не нужна.

[bot]

Нет, приведённая формулировка шире. Может ведь быть, что и не быть.

[Oleg Zubelevich]

bot в сообщении #763809 писал(а):

Нет

в каком смысле "нет", я написал неправильное утверждение?

[Barabashka]

Что может не быть. Можно поконкретнее. Он в пункте б) переходит к базисам.

[bot]

Правильное, но задача другая - система образующих не предполагается линейно независимой.

-- Сб сен 14, 2013 20:21:07 --

Barabashka в сообщении #763815 писал(а):

Он в пункте б) переходит к базисам.

Кто он - Кострикин? Правильно - это другая половина задачи.

[Oleg Zubelevich]

bot в сообщении #763818 писал(а):

Правильное, но задача другая - система образующих не предполагается линейно независимой.

Хорошо, что Вы это понимаете. Я дал комментарий, проясняющий существо дела, и в частности природу несуществования оператора.

[ewert]

Barabashka в сообщении #763815 писал(а):

Что может не быть. Можно поконкретнее.

В условиях задачи вполне может и не оказаться такого отображения. Утверждается лишь, что если оно и существует, то единственно.

[Oleg Zubelevich]

Barabashka

попробуйте построить оператор $A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ такой, что $A(0,1)=(0,1),\quad A(1,0)=(1,0),\quad A(2,2)=(1,1)$

[Barabashka]

Кострикин - автор книги.

Ясно. В пункте б) сказано, что если базисы, то существует.

Это просто доказательсво.

-- Сб сен 14, 2013 18:06:03 --

Я думал прояснить себе некоторые моменты доказательсва. Но без примеров усваивается плохо. Я не знаю как строить оператор. Попробую. Я так понимаю вы отображаете два ортонормированных базиса.

Получается, если допустить, что $A$ - линейное отображение, получается $A(2,2) = A(2(0,1)+2(1,0)) = 2A(0,1) + 2A(1,0) = (0,2)+(2,0) = (2,2)$, а в условии $A(2,2)=(1,1)$. У меня получается, что $A$ - нелинейно.

Так что ли?

[bot]

Да, так

Barabashka в сообщении #763824 писал(а):

Я так понимаю вы отображаете два ортонормированных базиса.

Это не при чём и неверно.

Barabashka в сообщении #763790 писал(а):

Рассмотрим отображение $g=f-f'$, где $(f-f')(l)=f(l)-f'(l)$. Легко проверить, что оно линейно.

Проверяйте.