Определение борелевских множеств и борелевских сигма-алгебр

[provincialka]

Пусть выскажутся конкретнее специалисты. Но чисто методически я посоветовала бы следующее: читайте сначала "по врехам", стараясь осознать круг идей и понятий. Если возникнут "непонятки" - переходите к более подробному исследованию.

[_hum_]

Rasool в сообщении #763262 писал(а):

Т.е. почитать книги по функану все-таки придется? Например, Колмогорова, Фомина?

Если хотите стать настоящим специалистом, то да.
На самом деле теория вероятностей, теория случайных процессов - это во многом "замаскированный" функциональный анализ, так что изучая ФАН, вы экономите на изучении тех же фактов но в вероятностных терминах. Как пример соотношение понятий в ТВ и ФАНе:
случайное событие <-> измеримое множество
вероятность <-> нормированная на единицу счетно-аддитивная мера
функция распределения <-> производящая функция меры
случайная величина <-> измеримая по Борелю функция
математическое ожидание <-> интеграл Лебега
условное мат. ожидание относительно сигма-алгебры <-> проекция функции на пространство всех измеримых относительно заданной алгебры функций
сходимость случайных величин почти наверное <-> сходимость измеримых функций почти всюду
сходимость случайных величин по распределению <-> слабая сходимость измеримых функций

Ну, и т.п.

И тогда, например, формулы типа $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ сразу очевидны, ведь на языке теории меры это всего лишь $m(A \cup B) = m(A) + m(B) - m(A\cap B)$ - мера("площадь") объединения двух фигур равна сумме мер ("площадей") каждой из них за вычетом меры ("площади") их пересекающихся частей.

Принципиальные отличия ТВ от ФАН - это появление понятия условной вероятности и предельные теоремы (это тоже можно перевести на язык ФАН, но в самом ФАН такими объектами не интересовались и сильно не изучали).

[Rasool]

_hum_, спасибо.

[g______d]

_hum_ в сообщении #763381 писал(а):

Принципиальные отличия ТВ от ФАН - это появление понятия условной вероятности и предельные теоремы (это тоже можно перевести на язык ФАН, но в самом ФАН такими объектами не интересовались и сильно не изучали).

По-моему, главное отличие в том, что в ТВ все меры принципиально неотрицательны, а в функциональном анализе более естественно рассматривать заряды (поскольку именно они сопряжены к непрерывным функциям). С неотрицательными мерами можно делать разные вещи, кототорые с произвольными нельзя. Если я не ошибаюсь, то возможность вводить условные вероятности связана именно с неотрицательностью; но на 100% не уверен.

[Oleg Zubelevich]

меры Радона раскладываются на разность неотрицательных мер

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #763487 писал(а):

меры Радона раскладываются на разность неотрицательных мер

Это я знаю, спасибо, просто у положительных мер есть дополнительные специальные свойства, та же теорема Бохнера.

[_hum_]

g______d в сообщении #763490 писал(а):

просто у положительных мер есть дополнительные специальные свойства, та же теорема Бохнера.

А можно поподробнее?

[Rasool]

Приблизительно на сколько семестров рассчитан учебник Колмогорова и Фомина?

-- Вт сен 17, 2013 23:21:16 --

Rasool в сообщении #764746 писал(а):

Приблизительно на сколько семестров рассчитан учебник Колмогорова и Фомина?

Посмотрел учебный план мехмата, там ФАН занимает два семестра - 5-й и 6-й.