Однако фундаментальных последовательностей от меня всё-таки хрен дождёшься.
Я знаком с тремя лекторами, ведущими матан на одном факультете. Программа для всех групп на первый семестр одна и та же, количество часов — тоже (требования на экзамене у них всё же разные, равно как и структура учебного процесса, но я не об этом).
Первый вводит действительные числа аксиоматически. Это занимает не более одной лекции. Второй вводит конструктивно, по Дедекинду, через сечения. Тоже одна лекция.
Третий же насилует сознание первокурсников конструктивным определением
по Коши, с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Я, конечно же, не должен объяснять вам, насколько больше времени это занимает: начинаем с
как с чего-то очевидного, продолжаем введением
как классов эквивалентности упорядоченных пар целых чисел и так далее. А попробуй тут обойтись без «предисловия»: начала теории множеств, пределы... Куча определений и теорем валится на голову со страшной скоростью. И на это требуется время. Но в итоге его студенты с первого дня понимают, что такое математика на самом деле, и учатся работать головой.
И вы не поверите: этот препод точно так же укладывается в отведённые часы, как и два других, успевая рассказать обо всём, ничем не жертвуя, да ещё успевает устраивать минуты отдыха, рассказывая занятные истории из своей жизни. Да, студенты выходят из аудитории с отнявшейся рукой и опухшей головой. Но это того стоит.