Однородность и изотропность в физике и геометрии

[diletto]

Можно ли найти в понятиях однородности и изотропности некое содержание с точки зрения "чистой геометрии"? Скажем, поверхность идеального тора "глобально анизотропна" в том смысле, что геодезическая линия, проведенная из данной точки, может иметь конечную или бесконечную длину в зависимости от выбранного направления (в отличие от ситуации на идеальной сфере или плоскости, где все геодезические одинаковы). Для установления этого отличия не нужен физический эксперимент - так же, как он не нужен, например, для различения односвязного и многосвязного многообразий.

Много ли существует "глобально изотропных" замкнутых многообразий? Не окажется ли, например, следствием из теоремы Пуанкаре-Перельмана единственность такого объекта? А что насчет незамкнутых?

Как вообще можно более строго сформулировать понятие "глобальной изотропности"? Ведь произвольная топологическая деформация сферы уничтожит свойство одинаковости её геодезических. (Чувствую, что здесь я особенно наивен, потому что рассуждаю без всякого понимания того, как ввести метрику и можно ли это вообще сделать в данном случае...) Получается, глобальная изотропность существует только для идеальных объектов, но как формально определить эту идеальность? Или можно ввести какое-то иное свойство, являющееся топологическим обобщением глобальной изотропности?

[Munin]

diletto в сообщении #759154 писал(а):

Можно ли найти в понятиях однородности и изотропности некое содержание с точки зрения "чистой геометрии"?

Они формулируются в терминах симметрии. Симметрия - это когда объект остаётся одинаковым после некоторой операции (например, после отражения в зеркале). Однородность - это симметрия по отношению к сдвигам (на любую величину). Изотропность - симметрия по отношению к поворотам (на любую величину).

diletto в сообщении #759154 писал(а):

Много ли существует "глобально изотропных" замкнутых многообразий?

Два, насколько я понимаю: сфера и эллиптическое пространство (полусфера со специальным краем, подобным бесконечно удалённым точкам проективного пространства).

diletto в сообщении #759154 писал(а):

Не окажется ли, например, следствием из теоремы Пуанкаре-Перельмана единственность такого объекта?

Эта теорема тут ни при чём. Дифференциальная геометрия - большая наука. Ну зачем один результат в ней - пихать во все дыры? Это следствие того, что дилетанты, кроме названия этого результата (не его сущности!), больше ни о чём и не слышали.

diletto в сообщении #759154 писал(а):

А что насчет незамкнутых?

Добавляется ещё два: плоскость и гиперболическое пространство. Гиперболическое пространство аналогично сфере, только мнимого радиуса.

diletto в сообщении #759154 писал(а):

Или можно ввести какое-то иное свойство, являющееся топологическим обобщением глобальной изотропности?

Боюсь, это трудно, если не невозможно, и думаю, попросту не нужно.

[casualvisitor]

diletto в сообщении #759154 писал(а):

Как вообще можно более строго сформулировать понятие "глобальной изотропности"? Ведь произвольная топологическая деформация сферы уничтожит свойство одинаковости её геодезических.

А изотропность каких пространств Вы хотите определить - топологических пространств или римановых многообразий? Если определение (каким бы оно ни было) дается для римановых многообразий, то зачем рассуждать о «произвольной топологической деформации»? Или Вы интересуетесь в каком классе пространств можно разумно формализовать наивные представления о «глобальной изотропности»?

Понятие топологического пространства формализует наивные геометрические представления о близости и непрерывности. Представлению о «направлении» в нем места нет (не исключаю, что топологи умеют-таки как-то определять нечто вроде направления в произвольном топологическом пространстве или в каком-то широком классе топ. пространств, но уверен, что, если такие понятия и существуют, то их связь с нашим интуитивным пониманием «направления» весьма отдаленна). Естественно понятие направления (или чего-то похожего) возникает, если топологическое пространство имеет какую-то подходящую дополнительную структуру. Пример такой дополнительной структуры Вы сами привели - структура риманова многообразия. В этом случае Вашему наивному вопросу о «глобальной изотропности» действительно можно придать вид вполне разумного вопроса о форме геодезических и о структуре множества геодезических. Этот вопрос люди изучают. См., например, книгу Бессе Многообразия с замкнутыми геодезическими. Вот, кстати, цитата из предисловия редактора русского перевода этой книги:

Цитата:

Оказалось, что существует богатое семейство поверхностей (или, эквивалентно, римановых метрик на двумерной сфере), у которых все геодезические замкнуты; параметром в этом семействе является функция двух переменных (произвольная функция на сфере, нечетная относительно антиподального отображения).

Другой пример дополнительной структуры, вводящей в топологическом пространстве нечто вроде направления, - задание группы, действующей на этом пространстве. Каждый элемент группы переводит данную точку в какую-то другую, т.е. движет ее в каком-то «направлении». В этом случае Вашему наивному вопросу о «глобальной изотропности» можно придать вид вполне разумного вопроса об описании орбит точек данного пространства под действием данной группы. (Вообще-то, имеет смысл изучать действия групп на произвольных множествах, а не только на топологических пространствах, но на таком уровне абстракции от геометрии не остается уже ничего).

Рациональные и иррациональные обмотки тора можно рассматривать и как геодезические, и как орбиты (указание на группу и ее действия - легкое упражнение для читателя).

Munin в сообщении #759177 писал(а):

Однородность - это симметрия по отношению к сдвигам (на любую величину). Изотропность - симметрия по отношению к поворотам (на любую величину).

А вот такие симметрии - немного другая песня. Чтобы обобщить такое представление об изотропности надо не пытаться придать какой-то смысл понятию «направления» (что я обсуждал выше), а просто иметь множества этих самых «сдвигов» и «поворотов». Потому что любое пространство «симметрично» относительно своих автоморфизмов (топологическое - относительно гомеоморфизмов, диф. многообразие - относительно диффеоморфизмов, риманово - относительно изометрий, и т.д., и т.п.). Тогда разумная форма вопроса о «глобальной изотропности» означает требование нахождения всех автоморфизмов данного пространства (многообразия). ... Малообозримая часто задача.

PS Я бы советовал переместить эту тему в форум математиков. Они, наверное, ответят лучше.

[Munin]

casualvisitor в сообщении #759225 писал(а):

А вот такие симметрии - немного другая песня. Чтобы обобщить такое представление об изотропности надо не пытаться придать какой-то смысл понятию «направления» (что я обсуждал выше), а просто иметь множества этих самых «сдвигов» и «поворотов».

Я имел в виду всего лишь скромные векторы Киллинга.

[casualvisitor]

Munin в сообщении #759270 писал(а):

Я имел в виду всего лишь скромные векторы Киллинга.

diletto интересуется возможностями обобщения понятия изотропности чуть ли не на топологические пространства ... даже именно на них. А какие там могут быть "векторы Киллинга"? А вот аналог симметрий (групп изометрий, "сдвигов" и "поворотов") имеется всегда, какую категорию пространств ни возьми, это - группы автоморфизмов. Причем, такие "симметрии" - именно "глобальные", как и хочет diletto.

[Munin]

casualvisitor в сообщении #759303 писал(а):

diletto интересуется возможностями обобщения понятия изотропности чуть ли не на топологические пространства ... даже именно на них.

Я думаю, он даже понятия такого не знает... Скорей всего, представляет себе что-то типа римановых многообразий. Даже, погружённых в евклидово пространство.

casualvisitor в сообщении #759303 писал(а):

Причем, такие "симметрии" - именно "глобальные", как и хочет diletto.

Вот только их слишком много.

[bayak]

diletto в сообщении #759154 писал(а):

Для установления этого отличия не нужен физический эксперимент - так же, как он не нужен, например, для различения односвязного и многосвязного многообразий.

Почему же тут не нужен физический эксперимент? А феномен длительной задержки радиоэхо (LDE) разве не может быть тем экспериментом, который указывает на анизатропию физического пространства - замыкание (компактификацию) сигнала на некоторых частотах в определённый момент времени.

[Munin]

bayak в сообщении #759332 писал(а):

А феномен длительной задержки радиоэхо (LDE) разве не может быть тем экспериментом, который указывает на анизатропию физического пространства

Скажите, а трещины в асфальте вам на мировые математические и физические константы не указывают?

[bayak]

Munin
Не надо комментировать каждый мой комментарий. Или Вас напугала идея?

[Munin]

Меня поразило, как вы её произнесли всерьёз в трезвом виде. Абсолютно не связанные же между собой вещи. Настолько же, насколько трещины на асфальте и мировые константы.

[bayak]

Munin в сообщении #759374 писал(а):

Абсолютно не связанные же между собой вещи.

У Вас есть другое простое объяснение феномену?

[Munin]

Я не считаю, что (1) простое объяснение есть (по крайней мере, не должно быть), и не считаю, что (2) оно должно быть хоть сколько-нибудь связано с анизотропией. В физике многие сотни и тысячи необъяснённых феноменов, это не значит, что каждый из них должен отменять законы Ньютона.

[diletto]

casualvisitor, спасибо, многое расставилось по местам.

casualvisitor в сообщении #759225 писал(а):

Естественно понятие направления (или чего-то похожего) возникает, если топологическое пространство имеет какую-то подходящую дополнительную структуру. Пример такой дополнительной структуры Вы сами привели - структура риманова многообразия. В этом случае Вашему наивному вопросу о «глобальной изотропности» действительно можно придать вид вполне разумного вопроса о форме геодезических и о структуре множества геодезических.
Другой пример дополнительной структуры, вводящей в топологическом пространстве нечто вроде направления, - задание группы, действующей на этом пространстве. Каждый элемент группы переводит данную точку в какую-то другую, т.е. движет ее в каком-то «направлении». В этом случае Вашему наивному вопросу о «глобальной изотропности» можно придать вид вполне разумного вопроса об описании орбит точек данного пространства под действием данной группы.

Рациональные и иррациональные обмотки тора можно рассматривать и как геодезические, и как орбиты (указание на группу и ее действия - легкое упражнение для читателя).

Наверное, Munin прав - несмотря на топологические отсылки, я представляю себе именно римановы пространства, и разговор о геодезических более релевантен, чем рассмотрение действий групп.
Собственно говоря, вопрос, начинающий эту тему, происходит все-таки от околофизических размышлений. Мы привыкли (классически) считать, что свободнолетящее тело в пустоте движется по геодезической, линии поля одиночного электрического заряда тоже рисуем по геодезическим... Это связывает геометрическую абстракцию с физическим фактом. Я не осведомлен о том, есть ли подобная связь между механикой движущихся тел и орбитами точек пространства - не фазового - под действием какой-либо группы.
Если вернуться к примеру с тором (или с его аналогами более высокой размерности), то обнаруживается следующее. ДОПУСТИМ, материальная точка в тороидальном пространстве, будучи предоставленной сама себе, будет двигаться по геодезической. В общем-то, нет ничего особенно странного в том, что траектория ее движения может совпадать с рациональной или иррациональной обмоткой. Но теперь допустим, что это не просто материальная точка, а пробный заряд и мы с его помощью изучаем статическое поле другого заряда. Возможно ли представить себе картину силовых линий, не дающую абсурдного результата? Если проводить линии от источника по геодезическим и исходить из теоремы о дивергенции, то напряженность поля будет, мне кажется, разрывной почти в любой точке. Означает ли это, что на торе в принципе не существует зарядов и потенциальных полей?

Цитата:

Munin в сообщении #759177 писал(а):

Однородность - это симметрия по отношению к сдвигам (на любую величину). Изотропность - симметрия по отношению к поворотам (на любую величину).

А вот такие симметрии - немного другая песня. Чтобы обобщить такое представление об изотропности надо не пытаться придать какой-то смысл понятию «направления» (что я обсуждал выше), а просто иметь множества этих самых «сдвигов» и «поворотов». Потому что любое пространство «симметрично» относительно своих автоморфизмов (топологическое - относительно гомеоморфизмов, диф. многообразие - относительно диффеоморфизмов, риманово - относительно изометрий, и т.д., и т.п.). Тогда разумная форма вопроса о «глобальной изотропности» означает требование нахождения всех автоморфизмов данного пространства (многообразия).

Почему обязательно "всех"? Возможно, только отличающих один класс пространств от другого...

Цитата:

PS Я бы советовал переместить эту тему в форум математиков. Они, наверное, ответят лучше.

Там я вообще ни слова не пойму.

[casualvisitor]

diletto в сообщении #759763 писал(а):

Наверное, Munin прав - несмотря на топологические отсылки, я представляю себе именно римановы пространства

Возможно, теперь Вы будете осторожнее использовать "топологические отсылки" и критичнее воспринимать подобные "отсылки", сделанные другими людьми. Нет, я Вас ни в чем не обвиняю, я как раз вступил в разговор чтобы попробовать помочь Вам кое-что "расставить по местам".

diletto в сообщении #759763 писал(а):

линии поля одиночного электрического заряда тоже рисуем по геодезическим ...
...
материальная точка в тороидальном пространстве ... не просто материальная точка, а пробный заряд ...
...
Возможно ли представить себе картину силовых линий, не дающую абсурдного результата? Если проводить линии от источника по геодезическим и исходить из теоремы о дивергенции, то напряженность поля будет, мне кажется, разрывной почти в любой точке. Означает ли это, что на торе в принципе не существует зарядов и потенциальных полей?

...

Конечно, ничто не мешает нам на том или ином многообразии рисовать геодезические или изучать вопросы о существовании и числе каких-то векторных полей. ... Известно, например, что двумерную сферу "причесать" нельзя (невозможно задать всюду ненулевое непрерывное векторное поле). А тор "причесать" - запросто.

Потенциальные поля на торе, конечно, есть - задаем произвольную гладкую функцию («потенциал») и рассматриваем поле ее градиента ... Непотенциальные поля на торе тоже есть - любое «причесывание» тора непотенциально (потому что на компактном пространстве любая непрерывная функция имеет максимум и минимум, а, значит, поле градиента гладкого «потенциала» на замкнутом многообразии обязательно обращается в ноль, по крайней мере, в двух точках).

diletto в сообщении #759763 писал(а):

Почему обязательно "всех"?

На самом деле я имел в виду нахождение всех групп «симметрии» данного пространства, т.е. всех подрупп группы всех автоморфизмов.

... Я, кстати, слона не приметил (извините, не задумывался я раньше об «изотропности» топологических пространств ... ). В произвольном топологическом пространстве можно зафиксировать некоторую (произвольно выбранную) точку и рассмотреть группу всех гомеоморфизмов этого пространства на себя, оставляющих данную точку на месте. Пожалуй, эта группа - некий аналог группы поворотов. И, пожалуй, ее можно считать характеристикой «глобальной изотропности» данного пространства в фиксированной точке. ... Говорю же, что на матфорум Вам надо ...

diletto в сообщении #759763 писал(а):

Там я вообще ни слова не пойму.

Мне кажется, что Вы сейчас должны лучше видеть, где в Ваших вопросах физика, и где математика. И если у Вас будут дополнительные вопросы по затронутым математическим темам (а их тут задавать - не перезадавать!), то я бы все-таки советовал пойти на форум математиков. Такие вопросы там более уместны, да и ответы, думаю, будут лучше.

[alcoholist]

читал-читал, но так и не понял, что имеется ввиду под "глобальной (ан)изотропностью"(((

-- Пн сен 02, 2013 20:02:00 --

и при чем тут однородность