Обращение в ноль тензора кривизны Римана и символы Крист-ля

[amarsianin]

Добрый день,

помогите, пожалуйста, разобраться. В учебнике Фоменко по дифф. геометрии есть такая задача:

проверить, что условия

$\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha'}}\left(\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x^{k'}}\left(\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{\alpha'}}\right) $

(которые получаются из закона преобразования символов Кристоффеля)

эквивалентны условию $R_{iq,kl}\equiv0$

Я записываю тензор кривизны Римана:

$R_{iq,kl}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^{2}g_{il}}{\partial x^{q}\partial x^{k}}+\dfrac{\partial^{2}g_{qk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\dfrac{\partial^{2}g_{ik}}{\partial x^{q}\partial x^{l}}-\dfrac{\partial^{2}g_{ql}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}\right)+g_{mp}\left(\Gamma_{qk}^{m}\Gamma_{il}^{p}-\Gamma_{ql}^{m}\Gamma_{ik}^{p}\right) $

и не вижу здесь вариантов вывести его равенство нулю из вышеупомянутого условия.

Если я запишу его закон преобразования:

$R_{i'q',k'l'}=\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}R_{iq,kl}$

и подставлю выражение для тензора в старых координатах, то опять ничего в голову не приходит.

Наверняка, уже был такой вопрос, но был не в состоянии найти его в интернете и на форуме.

Подскажете, как доказать утверждение?

Спасибо за помощь.

[Oleg Zubelevich]

amarsianin в сообщении #758761 писал(а):

В учебнике Фоменко по дифф. геометрии есть такая задача:

Там не может быть такой задачи. Потому, что не задача, а чепуха.

[amarsianin]

Ну как же, вот: http://postimg.org/image/80aea8ggt/

Я забыл упомянуть про то, что это было условие сущ-я евклидовой метрики для данного многообразия, хотя это итак понятно

[Oleg Zubelevich]

Это совсем не то, что вы написали. А равенство очень простое: частные производные гладкой функции обязаны коммутировать.

(Оффтоп)

Написать, что ли про теорему Фробениуса в "вопросы преподавания"

[amarsianin]

Цитата:

Это совсем не то, что вы написали

Да вы что? Серьёзно?

Цитата:

А равенство очень простое

Какое равенство?

Цитата:

частные производные гладкой функции обязаны коммутировать

Спасибо, я в курсе. И почти наверняка используется в решении. Только оно пока не совсем ясно, к сожалению

[Oleg Zubelevich]

Кстати было бы куда проще рассмотреть не то уравнение, что написано в учебнике, а вот это:

$$\frac{\partial^2 x^i}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{i'}}\Gamma^{i'}_{j'k'}(x')$$

т.е. приравнивать нулю символы Кристоффеля с нештрихованными индексами

[amarsianin]

Ок, согласен.

Но решение мне всё равно пока не очевидно

[Oleg Zubelevich]

ну надо просто подставить одну формулу в другую формулу и произвести некоторые вычисления. обе формулы написаны

[amarsianin]

Вот пока что мои вычисления.

Берём:

$R_{q,kl}^{i}=\dfrac{\partial\Gamma_{ql}^{i}}{\partial x^{k}}-\dfrac{\partial\Gamma_{qk}^{i}}{\partial x^{l}}+\Gamma_{qk}^{m}\Gamma_{il}^{p}-\Gamma_{ql}^{m}\Gamma_{ik}^{p}$

обозначим:

$\dfrac{\partial\Gamma_{ql}^{i}}{\partial x^{k}}-\dfrac{\partial\Gamma_{qk}^{i}}{\partial x^{l}}=A$

$\Gamma_{qk}^{m}\Gamma_{il}^{p}-\Gamma_{ql}^{m}\Gamma_{ik}^{p}=B $

Скорее всего, при замене координат эти слагаемые должны обнулиться.

Итак:

$R_{q',k'l'}^{i'}=\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\left(A+B\right)=A'+B'$

Имеем:

$\ensuremath{\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}=-\dfrac{\partial x^{j}}{\partial x^{j'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}}\Gamma_{jk}^{i}$

Тогда:

$\dfrac{\partial\Gamma_{ql}^{i}}{\partial x^{k}}=-\dfrac{\partial}{\partial x^{k}}\left(\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}}\right)=-\dfrac{\partial^{2}x^{q'}}{\partial x^{q}\partial x^{k}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}}-\dfrac{\partial x^{q'}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial^{2}x^{l'}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}}-\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{3}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}\partial x^{k}}$

и

$\dfrac{\partial\Gamma_{qk}^{i}}{\partial x^{l}}=-\dfrac{\partial}{\partial x^{l}}\left(\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}}\right)=-\dfrac{\partial^{2}x^{q'}}{\partial x^{q}\partial x^{l}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}}-\dfrac{\partial x^{q'}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial^{2}x^{k'}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}}-\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial^{3}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}\partial x^{l}}$

Подставим в первое слагаемое с учётом замены координат, получим:

$A'=-\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial^{2}x^{q'}}{\partial x^{q}\partial x^{k}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}}-\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{2}x^{l'}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}}-\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial^{3}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{l'}\partial x^{k}}+\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x^{q'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{2}x^{q'}}{\partial x^{q}\partial x^{l}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}}+\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{2}x^{k'}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}}+\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\dfrac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\dfrac{\partial^{3}x^{i}}{\partial x^{q'}\partial x^{k'}\partial x^{l}} $

И что-то пока не видно, чтоб тут что-то сокращалось. Есть идеи?

[Oleg Zubelevich]

все проще гораздо



надо формулу

Oleg Zubelevich в сообщении #758868 писал(а):

:

$$\frac{\partial^2 x^i}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{i'}}\Gamma^{i'}_{j'k'}(x')$$

подставить в формулу

amarsianin в сообщении #758761 писал(а):

я

$\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha'}}\left(\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x^{k'}}\left(\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{\alpha'}}\right)$

[amarsianin]

Да-да, уже решил, ещё до того, как ваше сообщение прочитал. Спасибо большое

[Oleg Zubelevich]

На самом деле верно и обратное. Если тензор кривизны на многообразии равен нулю и связность симметрична, то в некоторой окрестности каждой точки многообразия можно ввести координаты в которых символы Кристоффеля равны нулю.
В частности, если связность согласована с метрикой то можно ввести координаты в которых $g_{ij}(x)=\delta_{ij}$

[amarsianin]

Я понял, что это и значит "эквивалентность" условий (локально).
Обратное, думаю, можно показать похожим образом

[Oleg Zubelevich]

ну попробуйте покажите похожим образом

[svv]

Мне эта задача кажется странной (либо тривиальной, либо некорректной). Сначала расскажу, как я её понял. Авторы пишут:

Цитата:

Для того чтобы существовали координаты, в которых $\Gamma^{i'}_{j'k'}=0$, необходимо выполнение соотношений (т.е. уравнений на координаты $x^{i'}$): $\dfrac{\partial^2 x^i}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}=-\dfrac{\partial x^{j}}{\partial x^{j'}} \dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\Gamma^{i}_{jk}$.

Необходимым условием разрешимости этой системы (далее «исходной системы») являются... только не тождества
$\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha'}}\left(\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{k'}}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x^{k'}}\left(\dfrac{\partial^{2}x^{i}}{\partial x^{j'}\partial x^{\alpha'}}\right)$
(с каких это пор тождества служат условиями разрешимости?), а полученные с их помощью уравнения
$\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha'}}\left(\dfrac{\partial x^{j}}{\partial x^{j'}} \dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{k'}}\Gamma^{i}_{jk} \right)=\dfrac{\partial}{\partial x^{k'}}\left(\dfrac{\partial x^{j}}{\partial x^{j'}} \dfrac{\partial x^{k}}{\partial x^{\alpha'}}\Gamma^{i}_{jk} \right)$
Эти уравнения буду называть «условиями совместности» исходной системы (хотя никогда ещё, в известных мне случаях, условия совместности системы не включали неизвестную искомую функцию).

В книге предлагается доказать, что если заданы $\Gamma^i_{jk}(x)$ и существует некоторая $x'(x)$ такая, что условия совместности выполняются, то тензор кривизны равен нулю. Вопрос: можно ли при доказательстве пользоваться тем, что в системе координат $x'$ символы Кристоффеля равны нулю?

Вариант 1. Да, можно. В условиях совместности, как и в исходной системе, фигурирует не какая попало система координат $x'$, а такая, в которой Кристоффели нулевые.
В таком случае я выбрасываю на помойку условия совместности, и из того, что $\Gamma^{i'}_{j'k'}=0$, немедленно получаю, что в системе $x'$ компоненты тензора кривизны нулевые, а значит, они нулевые и в любой другой системе. Задача оказывается настолько тривиальной, что мне трудно допустить, что имелся в виду такой вариант.

Вариант 2. Нет, нельзя. В задаче нам не дано, что $\Gamma^{i'}_{j'k'}=0$, дано только, что существует такая система координат $x'$, что выполняются условия совместности.
В таком случае утверждение о том, что тензор кривизны непременно нулевой, неверно. Я привожу контрпример.

Пусть символы Кристоффеля в системе $x$ имеют вид $\Gamma^i_{jk}=\dfrac{\partial^2 b^i}{\partial x^j \partial x^k}$, где $b^i(x)$ — гладкие функции координат.
Тогда в качестве системы $x'$ можно взять саму $x$, т.е. преобразование координат является тождественным преобразованием $(x')^i=x^i$. Легко видеть, что тогда $\dfrac{\partial x^{j}}{\partial x^{j'}}=\delta^j_{j'}$ и условия совместности удовлетворяются. Теперь найдём тензор кривизны:

$${R^i}_{j k\ell}=\dfrac{\partial}{\partial x^k} \Gamma^i_{\ell j}-\dfrac{\partial}{\partial x^\ell}\Gamma^i_{k j}+\Gamma^i_{k m}\Gamma^m_{\ell j}-\Gamma^i_{\ell m}\Gamma^m_{k j}$$

При подстановке сюда выражения для $\Gamma^i_{jk}$ первые два слагаемых тривиально сокращаются за счёт коммутативности частных производных, но тем хуже для дальнейшего.

Остаётся комбинация $\Gamma^i_{k m}\Gamma^m_{\ell j}-\Gamma^i_{\ell m}\Gamma^m_{k j}$. Будем считать, что
$\bullet$ у нас двумерное многообразие, индексы могут принимать значения $1$ и $2$;
$\bullet$ $b^1=f\neq 0$, $b^2=0$, тогда символы Кристоффеля с верхним индексом $2$ равны нулю, и индекс $m$, по которому производится суммирование, можно положить равным $1$.
Найдём компоненту ${R^1}_{2 1 2}$, полагая $i=k=m=1, j=\ell=2$:

$${R^1}_{2 1 2}=\Gamma^1_{1 1}\Gamma^1_{2 2}-\Gamma^1_{2 1}\Gamma^1_{1 2}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^1 \partial x^1}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2 \partial x^2}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2 \partial x^1}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^1 \partial x^2}$$

Это выражение часто встречается в математике (определитель Гессе) и вовсе не обращается в нуль тождественно.