Когда наука дерзко принялась за изучение этой темы, было обнаружено следующее.
В каждой точке можно ввести две взаимно обратных матрицы, назовём их

(именно её Вы выписали) и

.
Компоненты матрицы

— это:
компоненты полярных базисных векторов

в декартовом базисе

, то есть
коэффициенты в выражении полярных базисных векторов через декартовы;
производные декартовых координат по полярным, то есть
коэффициенты в выражении декартовых компонент векторов через полярные.
Компоненты матрицы

— это:
компоненты декартовых базисных векторов

в полярном базисе

, то есть
коэффициенты в выражении декартовых базисных векторов через полярные;
производные полярных координат по декартовым, то есть
коэффициенты в выражении полярных компонент векторов через декартовы.
Решили матрицу

назвать матрицей перехода от декартовых координат к полярным, а матрицу

— матрицей перехода от полярных координат к декартовым. Т.е. во главу угла ставится преобразование базисных векторов, остальное вторично.