2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение25.08.2013, 17:29 
Чисто по терминологии вопрос. У меня возникла некоторая путаница.
Вот скажем есть связь полярных и декартовых координат:
$ x^1 = r \cos \phi, ~ x^2 = r \sin \phi $
и соответственно матрица Якоби
$$ \begin{pmatrix}
\cos \phi  & -r \sin \phi \\
\sin \phi & r \cos \phi  
\end{pmatrix}$$
почему она называется матрицей перехода от декартовых к полярным координатам, а не матрицей перехода от полярных к декартовым координатам? Или это без разницы куда переходить?

 
 
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение25.08.2013, 19:43 
Аватара пользователя
Когда наука дерзко принялась за изучение этой темы, было обнаружено следующее.
В каждой точке можно ввести две взаимно обратных матрицы, назовём их $A$ (именно её Вы выписали) и $B$.

Компоненты матрицы $A$ — это:
компоненты полярных базисных векторов $\mathbf e_{\rho}, \mathbf e_{\varphi}$ в декартовом базисе $\mathbf e_{x}, \mathbf e_{y}$, то есть
коэффициенты в выражении полярных базисных векторов через декартовы;
производные декартовых координат по полярным, то есть
коэффициенты в выражении декартовых компонент векторов через полярные.

Компоненты матрицы $B$ — это:
компоненты декартовых базисных векторов $\mathbf e_{x}, \mathbf e_{y}$ в полярном базисе $\mathbf e_{\rho}, \mathbf e_{\varphi}$, то есть
коэффициенты в выражении декартовых базисных векторов через полярные;
производные полярных координат по декартовым, то есть
коэффициенты в выражении полярных компонент векторов через декартовы.

Решили матрицу $A$ назвать матрицей перехода от декартовых координат к полярным, а матрицу $B$ — матрицей перехода от полярных координат к декартовым. Т.е. во главу угла ставится преобразование базисных векторов, остальное вторично.

 
 
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение27.08.2013, 23:21 
Аватара пользователя
Ну, потому что, если вы перейдете от одних координат (скажем, синих) к другим (скажем, красным), то в результате в формулах у вас останутся красные координаты. Ну вот, а в ваших формулах присутствуют полярные координаты, видимо, к ним и переходили. Соответственно, и в формуле замены переменных в двойном интеграле определитель этой матрицы используется именно при переходе к полярным координатам.

 
 
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение28.08.2013, 13:10 
А я привык наоборот называть, мне кажется это действительно логичней.
Даны полярные координаты. Переходим по этим формулам к прямоугольным. От первых к вторым. Хотя это просто слова, конечно.

 
 
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение28.08.2013, 14:39 
Аватара пользователя
sergei1961 в сообщении #758381 писал(а):
А я привык наоборот называть, мне кажется это действительно логичней.
Даны полярные координаты. Переходим по этим формулам к прямоугольным. От первых к вторым. Хотя это просто слова, конечно.

Да, на любителя. Но все же "перейти к новым координатам" означает скорее "выразить все через них", а не "вычислить через них через старые". По-моему, это естественней.

Ну, например, дано уравнение $x^3+y^3=3xy$ и предложено в нем перейти к полярным координатам. Как будете делать? :-)

 
 
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение28.08.2013, 15:08 
Сами формулы перехода -это одно. А задача о переходе к другой системе координат-это другое. Хотя я начал сомневаться, так что спасибо. за тему.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group