про матрицу Якоби один вопрос

[spyphy]

Чисто по терминологии вопрос. У меня возникла некоторая путаница.
Вот скажем есть связь полярных и декартовых координат:
$ x^1 = r \cos \phi, ~ x^2 = r \sin \phi $
и соответственно матрица Якоби

$$ \begin{pmatrix} \cos \phi & -r \sin \phi \\ \sin \phi & r \cos \phi \end{pmatrix}$$

почему она называется матрицей перехода от декартовых к полярным координатам, а не матрицей перехода от полярных к декартовым координатам? Или это без разницы куда переходить?

[svv]

Когда наука дерзко принялась за изучение этой темы, было обнаружено следующее.
В каждой точке можно ввести две взаимно обратных матрицы, назовём их $A$ (именно её Вы выписали) и $B$.

Компоненты матрицы $A$ — это:
компоненты полярных базисных векторов $\mathbf e_{\rho}, \mathbf e_{\varphi}$ в декартовом базисе $\mathbf e_{x}, \mathbf e_{y}$, то есть
коэффициенты в выражении полярных базисных векторов через декартовы;
производные декартовых координат по полярным, то есть
коэффициенты в выражении декартовых компонент векторов через полярные.

Компоненты матрицы $B$ — это:
компоненты декартовых базисных векторов $\mathbf e_{x}, \mathbf e_{y}$ в полярном базисе $\mathbf e_{\rho}, \mathbf e_{\varphi}$, то есть
коэффициенты в выражении декартовых базисных векторов через полярные;
производные полярных координат по декартовым, то есть
коэффициенты в выражении полярных компонент векторов через декартовы.

Решили матрицу $A$ назвать матрицей перехода от декартовых координат к полярным, а матрицу $B$ — матрицей перехода от полярных координат к декартовым. Т.е. во главу угла ставится преобразование базисных векторов, остальное вторично.

[provincialka]

Ну, потому что, если вы перейдете от одних координат (скажем, синих) к другим (скажем, красным), то в результате в формулах у вас останутся красные координаты. Ну вот, а в ваших формулах присутствуют полярные координаты, видимо, к ним и переходили. Соответственно, и в формуле замены переменных в двойном интеграле определитель этой матрицы используется именно при переходе к полярным координатам.

[sergei1961]

А я привык наоборот называть, мне кажется это действительно логичней.
Даны полярные координаты. Переходим по этим формулам к прямоугольным. От первых к вторым. Хотя это просто слова, конечно.

[provincialka]

sergei1961 в сообщении #758381 писал(а):

А я привык наоборот называть, мне кажется это действительно логичней.
Даны полярные координаты. Переходим по этим формулам к прямоугольным. От первых к вторым. Хотя это просто слова, конечно.

Да, на любителя. Но все же "перейти к новым координатам" означает скорее "выразить все через них", а не "вычислить через них через старые". По-моему, это естественней.

Ну, например, дано уравнение $x^3+y^3=3xy$ и предложено в нем перейти к полярным координатам. Как будете делать?

[sergei1961]

Сами формулы перехода -это одно. А задача о переходе к другой системе координат-это другое. Хотя я начал сомневаться, так что спасибо. за тему.