Множество частичных пределов последовательности

[Ktina]

Построить последовательность, множество частичных пределов которой:

а) состоит из трёх чисел;
б) счётно.

Для пункта а):

$$a_n=(n \mod 3)+\dfrac{1}{n}$$

Для пункта б):

$$a_n=D_n+\dfrac{1}{n}$$

, где $D_n$ есть число двоек в разложении числа $n$ на множители.

Как-то примитивно получилось? Или сгодится? Или стыд мне и позор?

[Sonic86]

Нормально.
Удобно юзать следующий факт: если $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x, \lim\limits_{n\to\infty}y_n=y$, то последовательность $x_1,y_1,x_2,y_2,...$ имеет в качестве множества частичных пределов $\{x,y\}$. Можете сей факт всячески пообобщать, ежели прикололо. Для счетного множества построение чуть сложнее.
В общем, матанализ - наше все.

[Ktina]

Sonic86 в сообщении #758160 писал(а):

Нормально.
Удобно юзать следующий факт: если $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x, \lim\limits_{n\to\infty}y_n=y$, то последовательность $x_1,y_1,x_2,y_2,...$ имеет в качестве множества частичных пределов $\{x,y\}$. Можете сей факт всячески пообобщать, ежели прикололо. Для счетного множества построение чуть сложнее.

А если континуум?

[arseniiv]

Насчёт стыда не скажу, но насчёт $\TeX$а есть что:

Ktina в сообщении #758153 писал(а):

$$a_n=(n \mod 3)+\dfrac{1}{n}$$

\bmod.
\mod — для сравнений, причём когда автор не окружает $\mathrm{mod}$ скобками. \pmod — для сравнений со скобками (p, видимо, от parenthesized или подобного).

[dikiy]

Ktina в сообщении #758163 писал(а):

Sonic86 в сообщении #758160 писал(а):

Нормально.
Удобно юзать следующий факт: если $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x, \lim\limits_{n\to\infty}y_n=y$, то последовательность $x_1,y_1,x_2,y_2,...$ имеет в качестве множества частичных пределов $\{x,y\}$. Можете сей факт всячески пообобщать, ежели прикололо. Для счетного множества построение чуть сложнее.

А если континуум?

хм. возьмем последовательность из всех рациональых чисел интервала $[0,1]$. Для каждой иррациональной точке интервала можно выбрать подпоследовательность, которая будет сходиться к ней. Ну а так как иррациональных точек континуум, то и можетсво частичных пределов тоже имеет мощность континуума.

[Ktina]

arseniiv в сообщении #758166 писал(а):

Насчёт стыда не скажу, но насчёт $\TeX$а есть что:
...

$$a_n=(n \bmod 3)+\dfrac{1}{n}$$

Так?

-- 27.08.2013, 17:51 --

dikiy в сообщении #758169 писал(а):

хм. возьмем последовательность из всех рациональых чисел интервала [0,1]. ...

Это как? Приведите пример, пожалуйста.

[ИСН]

Ну как как. Первый элемент - первое рациональное число, второй - второе число, и так далее. По какой нумерации? По любой. Множество же счётно? Факт. Стало быть, нумерация есть.

[dikiy]

Цитата:

Цитата:

хм. возьмем последовательность из всех рациональых чисел интервала $[0,1]$. ...

Это как? Приведите пример, пожалуйста.

пример стандартный:

сделаем $2D$ таблицу для всех рациональных чисел. Столбцы пронумеруем как $m=1,2,3,....$ и строки пронумеруем так же $n=1,2,3,.....$

На пересечении солбца и строки запишем число $\frac n m$. Очевидно, что "верхний правый" треугольник таблицы состоит из рациональных чисел от 0 до 1. Ну а последовательность выбираем просто "диагоналями", напрявленными перпендикулярно основной диагонали таблицы (матрицы).

Задавать формулу математически лень :)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #758170 писал(а):

Так?

Не спрашивайте, вы же видите, что всё так.

Хотя я бы и скобки убрал. $\bmod$ обычно считается «мультипликативной» операцией, у которой приоритет выше чем у плюса.

dikiy в сообщении #758179 писал(а):

Ну а последовательность выбираем просто "диагоналями", напрявленными перпендикулярно основной диагонали таблицы (матрицы)

А чем вертикали не подходят?

[ИСН]

Длинные очень, собаки.

[dikiy]

Цитата:

А чем вертикали не подходят?

можно и вертикалями. Просто - диагонали первое что на ум пришло.

[provincialka]

Нет, нельзя вертикалями. Первая же вертикаль не кончится и мы не перейдем на вторую.
Если диагонали не нравятся - можно "квадратами"

[arseniiv]

Так dikiy же ограничил таблицу верхней частью. Вертикали в ней ограничены, а вот горизонтали — да, нет. Просто формула (если уж кому-то нужна, несмотря на замечание ИСН о счётности) будет явно проще с вертикалями, чем с побочными диагоналями.

[ewert]

Ktina в сообщении #758163 писал(а):

А если континуум?

Просто синус эн.

Любой не более чем счётный (но дискретный, конечно) набор предельных точек получается тоже очень просто. Заготавливаем любой набор последовательностей, сходящихся к чему нужно. Затем на каждую вторую позицию итоговой последовательности вставляем элементы первой из заготовленных, на каждую вторую из оставшихся -- элементы второй и т.д.

[Ktina]

ewert в сообщении #758396 писал(а):

Ktina в сообщении #758163 писал(а):

А если континуум?

Просто синус эн.

Просто гениально!