Доказать равенство методом мат. индукции

[Ylyasha]

Как доказать равенство методом математической индукции
$\[x \cdot y + x \cdot z = x \cdot (y + z)\]$

[vorvalm]

Как обычно. Замените $x=1,$ затем $x=n+1.$

[Ylyasha]

1 шаг: проверим истинность равенства при x=1.
$\[\begin{gathered}1 \cdot y + 1 \cdot z = y + z = 1 \cdot (y + z); \hfill \\ y + z = y + z; \hfill \\\end{gathered}\]$
2 шаг:проверим истинность равенства при x=n+1.
$\[\begin{gathered} y \cdot (n + 1) + z \cdot (n + 1) = (n + 1) \cdot (y + z); \hfill \\ y \cdot n + y + z \cdot n + z = y \cdot n + y + z \cdot n + z; \hfill \\ \end{gathered}\]$.
Равенство доказано, т.е. при любых n равенство истинно.
Верно. Как вы думаете этого достаточно для доказательства...

[Алексей К.]

Подождите, когда ответит кто-то из образованных.
Не является ли утверждение аксиомой? И тогда от самой попытки доказывать его можно в тюрьму попасть!
Да и не бывает, чтоб задача на индукцию была так тупо сформулирована, без указания целочисленностей.

Сам я в этом не особо разбираюсь, но чуйствую неприятности. Подождите, нам точно расскажут правду.

[Ylyasha]

хорошо...буду ждать...

[Aritaborian]

Ylyasha, это вся формулировка задачи? Полностью? Там не было написано ещё что-то выше или ниже? Из какого учебника, какого раздела взята задача?

[gris]

Наверное, это для аксиом Пеано с определением умножения. В принципе почти правильно, только бы указать, что второй шаг это допущение равенства при $n$, а на третьем шаге поподробнее расписать умножение на "следующее число" $n'=n+1$. Или для ординалов Там левая дистрибуция не всегда (?) работает

В общей алгебре дистрибутивность одной из бинарных операций главнее и ассоциативности, и коммутативности. Без дистрибутивности разве что кольцоиды какие-нибудь есть. И она является аксиомой. По индукции можно разве доказать $x\cdot a_1+ x\cdot a_2+...+x\cdot a_n=x\cdot(a_1+a_2+...+a_n)$

[bot]

vorvalm в сообщении #757702 писал(а):

Замените $x=1,$ затем $x=n+1.$

Это удобно, если умножение определено следующим образом: $1\cdot x=x, \ (y+1)\cdot x=y\cdot x+x$
Чаще однако умножение определяют двойственным образом: $x\cdot 1=x, \ x\cdot(y+1) =x\cdot y+x$
В этом случае удобнее вести индукцию по $z$, при этом предполагается, что коммутативность и ассоциативность сложения доказана ранее.
Коммутативность умножения доказывать удобно, когда обе дистрибутивности уже есть.