2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 21:34 
Как доказать равенство методом математической индукции
$\[x \cdot y + x \cdot z = x \cdot (y + z)\]$

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 21:49 
Как обычно. Замените $x=1,$ затем $x=n+1.$

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 22:00 
1 шаг: проверим истинность равенства при x=1.
$\[\begin{gathered}1 \cdot y + 1 \cdot z = y + z = 1 \cdot (y + z); \hfill \\
  y + z = y + z; \hfill \\\end{gathered}\]$
2 шаг:проверим истинность равенства при x=n+1.
$\[\begin{gathered}  y \cdot (n + 1) + z \cdot (n + 1) = (n + 1) \cdot (y + z); \hfill \\
  y \cdot n + y + z \cdot n + z = y \cdot n + y + z \cdot n + z; \hfill \\ 
\end{gathered}\]$.
Равенство доказано, т.е. при любых n равенство истинно.
Верно. Как вы думаете этого достаточно для доказательства...

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 22:11 
Подождите, когда ответит кто-то из образованных.
Не является ли утверждение аксиомой? И тогда от самой попытки доказывать его можно в тюрьму попасть!
Да и не бывает, чтоб задача на индукцию была так тупо сформулирована, без указания целочисленностей.

Сам я в этом не особо разбираюсь, но чуйствую неприятности. Подождите, нам точно расскажут правду.

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 22:20 
хорошо...буду ждать...

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 22:22 
Аватара пользователя
Ylyasha, это вся формулировка задачи? Полностью? Там не было написано ещё что-то выше или ниже? Из какого учебника, какого раздела взята задача?

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение25.08.2013, 23:16 
Аватара пользователя
Наверное, это для аксиом Пеано с определением умножения. В принципе почти правильно, только бы указать, что второй шаг это допущение равенства при $n$, а на третьем шаге поподробнее расписать умножение на "следующее число" $n'=n+1$. Или для ординалов :?: Там левая дистрибуция не всегда (?) работает :cry:

В общей алгебре дистрибутивность одной из бинарных операций главнее и ассоциативности, и коммутативности. Без дистрибутивности разве что кольцоиды какие-нибудь есть. И она является аксиомой. По индукции можно разве доказать $x\cdot a_1+ x\cdot a_2+...+x\cdot a_n=x\cdot(a_1+a_2+...+a_n)$

 
 
 
 Re: Доказать равенство методом мат. индукции
Сообщение26.08.2013, 07:12 
Аватара пользователя
vorvalm в сообщении #757702 писал(а):
Замените $x=1,$ затем $x=n+1.$

Это удобно, если умножение определено следующим образом: $1\cdot x=x, \ (y+1)\cdot x=y\cdot x+x$
Чаще однако умножение определяют двойственным образом: $x\cdot 1=x, \ x\cdot(y+1) =x\cdot y+x$
В этом случае удобнее вести индукцию по $z$, при этом предполагается, что коммутативность и ассоциативность сложения доказана ранее.
Коммутативность умножения доказывать удобно, когда обе дистрибутивности уже есть.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group