1) Группа Ли
это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением
. Например группой Ли является
.
2) Рассмотрим
-- касательное пространство к группе
в единице. Пусть
-- какой -нибудь вектор. Через
обозначим следующую операцию
Она называется левым сдвигом.
Вектору
можно поставить в соответствие векторное поле на
, делается это следующим образом:
.
3) Пусть теперь
. Этим векторам поставим в соответствие векторные поля
указанным выше способом, и по определению положим
. Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство
превращается в алгебру Ли. Это алгебра Ли группы
.