Алгебры Ли и группы Ли

[Nuar_Morg01]

Объясните пожалуйста,что такое группы Ли и алгебры Ли и их применимость в квантовой физике.Слышал об объяснении электрослабой теории с помощью групп Ли и об исключительно простой теории всего при помощи E8.Заранее очень благодарен.

[Oleg Zubelevich]

1) Группа Ли $G$ это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением $G\times G\to G$ . Например группой Ли является $GL(n)$.
2) Рассмотрим $T_eG$ -- касательное пространство к группе $G$ в единице. Пусть $v\in T_eG$ -- какой -нибудь вектор. Через $F_a:G\to G$ обозначим следующую операцию $F_a(f)=af.$ Она называется левым сдвигом.
Вектору $v$ можно поставить в соответствие векторное поле на $G$, делается это следующим образом: $v(x)=dF_x(e)\circ v$.
3) Пусть теперь $u,v\in T_eG$. Этим векторам поставим в соответствие векторные поля $u(x),v(x)$ указанным выше способом, и по определению положим $[u,v]:=[u(x),v(x)](e)$. Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство $T_eG$ превращается в алгебру Ли. Это алгебра Ли группы $G$.

[Munin]

Замечательная книга
Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.
содержит подробные и полные объяснения на эту тему. Кроме $E_8,$ которая ничем особым не выделена среди других групп Великого Объединения (GUT).

О Великом Объединении (после Рубакова) читать
Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц.
глава 6.

-- 24.08.2013 20:43:41 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Что смешно, вы в очередной раз не справились составить учебный текст: используете невведённые и очевидно не знакомые читателю обозначения и понятия. Конечно, крутость продемонстрировать - это вы продемонстрировали. Но толку нуль (или около нуля).

[worm2]

(Оффтоп)

Хотел бы в данном случае поддержать объяснение Oleg Zubelevich. Множество студентов, которые не знают алгебры/группы Ли, но знают основы теорий групп, алгебр, линейной алгебры и дифф. геометрии, очевидно, не пусто (например, всему этому меня учили в вузе, а вот группам/алгебрам Ли не учили). Осталось только пояснить операцию "круглешок", и объяснение будет вполне себе годным (для указанного множества студентов). Истинный же уровень знаний и даже специализация ТС нам неизвестна.

[Munin]

(Оффтоп)

worm2 в сообщении #757405 писал(а):

Множество студентов, которые не знают алгебры/группы Ли, но знают основы теорий групп, алгебр, линейной алгебры и дифф. геометрии, очевидно, не пусто

Я судил не по этому, а по упоминанию квантовой физики и "исключительно простой теории всего" (которая не исключительно простая, разумеется, это группа $E_8$ исключительная простая группа Ли).

Да, вы правы, это множество не пусто. Но множество студентов с физическим background-ом, которым интересны алгебры/группы Ли в такой формулировке, также непусто, имеет большую мощность. А они, обычно, не знают дифф. геометрию, внешние формы, касательные пространства, и соответствующие обозначения. И уж тем более, смешно объяснять, что такое алгебра Ли, в формулировке "Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство превращается в алгебру Ли." Ведь аксиомы алгебры Ли не введены.

Есть ещё случай, когда спрашивающий - просто читатель журналистских заметок (чего-то все начали $E_8$ вспоминать, может быть, очередной вброс в вентилятор произошёл). Тут, конечно, даже написанного у Рубакова будет недостаточно: нужно хотя бы знать алгебру матриц, да и об элементарных частицах кое-что. Ну, тут я думаю, что Рубаков - это абсолютный минимум, ниже которого опускаться в объяснениях нельзя, иначе неизбежны радикальные потери информации.

[Deggial]

Munin в сообщении #757376 писал(а):

Oleg Zubelevich
Что смешно, вы в очередной раз не справились составить учебный текст: используете невведённые и очевидно не знакомые читателю обозначения и понятия. Конечно, крутость продемонстрировать - это вы продемонстрировали. Но толку нуль (или около нуля).

Munin, предупреждение за переход на личности.

[Leox]

Oleg Zubelevich в сообщении #757366 писал(а):

1) Группа Ли $G$ это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением $G\times G\to G$

Почему бы не дать определение алгебры Ли не привлекая групп Ли, зачем все усложнять? Векторы в трехмерном пространстве образуют алгебру Ли если ввести операцию умножения - векторное произведение. Дальше ета конструкция обобщается на пространство любой размерности. Вот и все.

[Munin]

Всё-таки из жалости к читателю процитирую:

Цитата:

ЛИ АЛГЕБРА, л и е в а   а л г е б р а — унитарный $k$-модуль $L$ над коммутативным кольцом $k$ с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением $(x,y)\mapsto[x,y]$ прямого произведения $L{\times}L$ в $L,$ обладающим следующими двумя свойствами:
1) $[x,x]=0$ (откуда вытекает антикоммутативность $[x,y]=-[y,x]$);
2) $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (т о ж д е с т в о   Я к о б и).
Таким образом, Ли а. является алгеброй над $k$ (не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли.


(Математическая Энциклопедия, ст. "Ли алгебра", А. И. Кострикин, В. Л. Попов)

Однако, есть отдельная статья "Ли алгебра аналитической группы (алгебра Ли группы Ли)", в которой описаны особые отношения, которые бывают между алгеброй Ли и группой Ли.