радиальные геодезические в разных координатах

[Munin]

schekn в сообщении #754882 писал(а):

Но Вы задавая координату частицы $r=r_g$ (углы любые) и радиальную скорость скорость $v=v_r$ в данных координатах не сможете предсказать ее дальнейшее поведение.

Как это? Даже вы сможете! :-)

Только помните ограничение: $v_r<0.$

[piksel]

schekn в сообщении #754709 писал(а):

Это не ерунда, это совсем не ерунда ( как говорил Мюллер).

Кстати, Мюллер тоже строит графики для Шварцшильда
http://demonstrations.wolfram.com/GeodesicPrecessionOnATimelikeCircularOrbitAroundASchwarzschi/

[schekn]

Munin в сообщении #754995 писал(а):

Как это? Даже вы сможете!

Только помните ограничение: $v_r<0.$

Я Сумбурно написал, давайте поясню подробнее. Это все есть оказывается в моих черновиках. Из радиальных геодезических, которые я нашел, (11а) и ( 11б) следует, что на горизонте :

$dr/dt(1)=-2cA^2$,

при $r=r_g$. То есть , зная начальные данные (постоянную A) , мы попадаем на одну из вполне-предсказуемых кривых (это красная на рис. 4).
Для второй, при $ r=r_g$:

$dr/dt(2)=0$.

А вот здесь оказывается, что независимо от начальных данных (то есть от A) У нас координатная скорость 0. Мы не знаем , где окажется частица впоследствии. Но стоит нам чуть отклониться от данной критической поверхности, то мы попадаем либо на правую синюю ветку на рис.4 , либо на левую (уж так в цветовом исполнении строит программа). Это совершенно разные кривые. Ту, которая на правой ветке , мы даже можем как-то детектировать.

Теперь к Someone. Я посмотрел бегло координаты Крускала-Шекереса. Метрика без углового члена:

$ds^2=4(r_g^3/r)\exp(-r/rg)(dv^2-du^2)$

при $r>r_g$

$u=\sqrt{r/r_g-1}\exp(r/2r_g)\ch(t/2r_g)$
$v=\sqrt{r/r_g-1}\exp(r/2r_g)\sh(t/2r_g)$

(здесь r,t - координаты Шварцшильда).
Видно, что критическая поверхность $r=r_g$ вырождается в данных координатах в точку $u=v=0$. Если посмотреть на диаграмму на рис. 3.13, МТУ-3, стр. 30, то видно, что малом отклонении от этой точки и мы попадаем на один из 4-х квадрантов. Там , кажется не нарисованы радиальные геодезические, но если нарисовать, то частица окажется на разных кривых. То есть здесь также присутствует неоднозначность.

Кроме того, что уже новое в данных координатах, это то, что при $r=+\infty$ $ds^2=0$. То есть радиальная частица стремится к скорости света с ростом r.

[Someone]

schekn в сообщении #755152 писал(а):

Для второй, при $ r=r_g$:

$dr/dt(2)=0$.

А вот здесь оказывается, что независимо от начальных данных (то есть от A) У нас координатная скорость 0.

Видите ли, Вы здесь пытаетесь описать ситуацию, которая в выбранной Вами системе координат не описывается. "Вылетающая" частица может оказаться на горизонте только в момент координатного времени, равный $-\infty$. Если же она находится на горизонте в конечный момент координатного времени, то это означает, что она движется со скоростью света и всегда находится на горизонте. Поскольку в рассматриваемых Вами координатах горизонт имеет постоянную координату $r=r_g$, то не видно ничего удивительного, что координатная скорость равна нулю.

schekn в сообщении #755152 писал(а):

Кроме того, что уже новое в данных координатах, это то, что при $r=+\infty$ $ds^2=0$. То есть радиальная частица стремится к скорости света с ростом r.

Уж совсем до полного идиотизма-то спускаться не надо. Найдите уравнение радиальной геодезической и посмотрите, какая там будет скорость. Не координатная (она может быть какой угодно), а физическая. И относительно чего.

schekn в сообщении #755152 писал(а):

Видно, что критическая поверхность $r=r_g$ вырождается в данных координатах в точку $u=v=0$.

Я Вам уже писал, причём, не один раз: система координат Шварцшильда — плохая. Она вырождается на горизонте. Она описывает отдельно область $r>r_g$ и отдельно область $r<r_g$, но не описывает их соединение. Более того, каждой из этих областей в координатах Шварцшильда соответствуют по две области пространства-времени. Поэтому координаты Шварцшильда совершенно не годятся для исследования мировых линий, пересекающих горизонт.

(Для справок)

Someone писал(а):

Интервал в координатах Шварцшильда выглядит так:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}r\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{r_g}r}-r^2(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)\text{.}\eqno{(1)}$$

Переход к координатам Крускала - Шекерса задаётся четырьмя парами формул (угловые координаты $\varphi$ и $\theta$ не заменяются):

$$\mathrm{I}(r\geqslant r_g,u\geqslant c|v|):\begin{cases}u=\sqrt{r_g(r-r_g)}e^{\frac r{2r_g}}\ch\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\\ v=\frac 1c\sqrt{r_g(r-r_g)}e^{\frac r{2r_g}}\sh\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\end{cases}\eqno{(2)}$$

$$\mathrm{II}\left(r\leqslant r_g,|u|\leqslant cv\leqslant\sqrt{u^2+r_g^2}\right):\begin{cases}u=\sqrt{r_g(r_g-r)}e^{\frac r{2r_g}}\sh\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\\ v=\frac 1c\sqrt{r_g(r_g-r)}e^{\frac r{2r_g}}\ch\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\end{cases}\eqno{(3)}$$

$$\mathrm{III}(r\geqslant r_g,u\leqslant-c|v|):\begin{cases}u=-\sqrt{r_g(r-r_g)}e^{\frac r{2r_g}}\ch\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\\ v=-\frac 1c\sqrt{r_g(r-r_g)}e^{\frac r{2r_g}}\sh\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\end{cases}\eqno{(4)}$$

$$\mathrm{IV}\left(r{\leqslant}r_g,|u|{\leqslant}{-}cv{\leqslant}\sqrt{u^2{+}r_g^2}\right):\begin{cases}u=-\sqrt{r_g(r_g-r)}e^{\frac r{2r_g}}\sh\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{,}\\ v=-\frac 1c\sqrt{r_g(r_g-r)}e^{\frac r{2r_g}}\ch\left(\frac{ct}{2r_g}\right)\text{.}\end{cases}\eqno{(5)}$$

Здесь $u$ - радиальная координата, $v$ - временнáя.
Интервал в координатах Крускала выглядит так:

$$ds^2=\frac{4r_g}re^{-\frac r{r_g}}(c^2dv^2-du^2)-r^2(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)\text{.}\eqno{(6)}$$

Обратное преобразование задаётся формулами

$$r_g(r-r_g)e^{\frac r{r_g}}=u^2-c^2v^2\text{,}\eqno{(7)}$$

$$t=\begin{cases}\frac{2r_g}c\operatorname{arth}\left(\frac{cv}u\right)\text{ в областях I и III,}\\ \frac{2r_g}c\operatorname{arth}\left(\frac u{cv}\right)\text{ в областях II и IV.}\end{cases}\eqno{(8)}$$

Горизонт $r=r_g$ - это пара прямых $u=\pm cv$, сингулярность $r=0$ - это гипербола $c^2v^2-u^2=r_g^2$ (угловые координаты $\varphi$ и $\theta$ игнорируем).

Считаем, что внешняя часть чёрной дыры - это область I, внутренность - область II. Область III соответствует второй внешности чёрной дыры и недостижима из области I, область IV описывает "белую дыру". При реальном коллапсе звезды области III и IV не возникают, а область II возникает только частично (Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Том 3. "Мир", Москва, 1977. На рисунках 31.3 и 31.4 изображены и сопоставлены пространственно-временные диаграммы в координатах Шварцшильда и Крускала - Шекерса, на рисунке 32.1 показан коллапс звезды).

[Munin]

schekn в сообщении #755152 писал(а):

То есть , зная начальные данные (постоянную A) , мы попадаем на одну из вполне-предсказуемых кривых (это красная на рис. 4).

Всё верно.

schekn в сообщении #755152 писал(а):

А вот здесь оказывается, что независимо от начальных данных (то есть от A) У нас координатная скорость 0.

А вот здесь вы запутались. У вас начальные данные - не $A,$ а всё-таки $dr/dt.$ И если у вас теряется взаимно-однозначное соответствие одного другому, то считать $A$ начальными данными уже нельзя.

И самое главное, "синяя кривая" (которая даже не есть одна кривая, повторяю) на рис. 4 - вообще не проходит ни через какую точку $r=r_g.$ То, что вы формально вычисляете для неё $dr/dt|_{r=r_g}$ - чистая фикция, за счёт доопределения функции в устранимой точке разрыва. Так что "синяя кривая" вообще не может служить решением задачи Коши для начальной точки на $r=r_g.$ И приплетать её к этой задаче бессмысленно.

schekn в сообщении #755152 писал(а):

Мы не знаем , где окажется частица впоследствии.

И соответственно, этот вывод ошибочен.

[schekn]

schekn в сообщении #755152 писал(а):

Видите ли, Вы здесь пытаетесь описать ситуацию, которая в выбранной Вами системе координат не описывается. "Вылетающая" частица может оказаться на горизонте только в момент координатного времени, равный $-\infty$. Если же она находится на горизонте в конечный момент координатного времени, то это означает, что она движется со скоростью света и всегда находится на горизонте. Поскольку в рассматриваемых Вами координатах горизонт имеет постоянную координату $r=r_g$, то не видно ничего удивительного, что координатная скорость равна нулю.

Я собственно пытался описать ситуацию предельную. То есть показать, что есть некая особенность на горизонте в данных координатах. Ведь можно вообразить изотоп, который летит радиально в черную дыру и распадается радиально на 2 осколка. Он может распаться в точке $r=r_g+\delta$ или в точке $r=r_g-\delta$. При этом понятно , что физическая ситуация будет в двух случаях разная.
Уменьшая размер $\delta$, мы приходим к предельному случаю, который характеризует некую особенность.

До идиотизма конечно не надо доходить, но Вы мне предлагаете решить ту же задачу в координатах Крускала? Для меня будет правда некое препятствие - я не понимаю, что есть u, v для наблюдателя.
Если бы Вы мне дали точную формулу для физической скорости, то я бы туда и подставил все данные и посмотрел , чему она равна. Той, которую я использовал, и дало мне основание думать, что на бесконечности в координатах Крускала будет равна скорости света. Мои оценки связаны не с физ. скоростью, чье определение я не нашел в учебниках, а с оценкой интервала. (не очень сообразил, почему поверхность $r=r_g$ превратилась в прямые на диаграмме? ведь по формулам получается , что при любых углах и шварцшильдовском времени $ u=0, v=0$ ? И куб в интервале Крускала кажется потеряли $r_g^3$)

Munin в сообщении #755314 писал(а):

И самое главное, "синяя кривая" (которая даже не есть одна кривая, повторяю) на рис. 4 - вообще не проходит ни через какую точку $r=r_g.$ То, что вы формально вычисляете для неё $dr/dt|_{r=r_g}$ - чистая фикция, за счёт доопределения функции в устранимой точке разрыва. Так что "синяя кривая" вообще не может служить решением задачи Коши для начальной точки на $r=r_g.$ И приплетать её к этой задаче бессмысленно.

По видимому это и есть некорректно поставленная задача Коши.

[Someone]

schekn в сообщении #755744 писал(а):

Я собственно пытался описать ситуацию предельную. То есть показать, что есть некая особенность на горизонте в данных координатах.

На котором из четырёх?

schekn в сообщении #754365 писал(а):

Радиальная геодезическая в метрике Эддингтона-Финкельштейна.

Чтобы понять, что творится с радиальными геодезическими на горизонте, если у нас имеется "вечная " черная дыра, возьму метрику, координаты которой покрывают всю вакуумную область $ r>0. $ - Эддингтона-Финкельштейна. В некотором аспекте она проще Леметра, поскольку координата r та же, что и у Шварцшильдовской метрики и проще сравнивать (переходить от одной к другой).

$ds^2=(1-r_g/r)dt^2c^2-2cdtdr-r^2d{\Omega}^2$ (1)

Вы рассматриваете сжимающуюся систему координат Эддингтона — Финкельштейна. На приведённом здесь рисунке из МТУ ей соответствует область $u+v>0$ (в обозначениях МТУ; в "моих" обозначениях будет $u+cv>0$), которая содержит внешнюю область I и внутреннюю область II, которые склеиваются через горизонт $u=v$ (или $u=cv$), $v>0$. Вы же, по-моему, пытаетесь что-то выяснить про горизонт $u=-v$ (или $u=-cv$), $v<0$, который находится вне области действия данной системы координат. Чего удивительного, что получается ерунда?

schekn в сообщении #754384 писал(а):

$\frac{r-\left( {c}^{2}\,rg-{c}^{2}\,r\right) \,{u^0}^{2}}{2\,c\,r\,u^0}=A$ (8)
…
Получаем после упрощений:

$dr/dt(1)=-c(r_g/r-1)\sqrt{A^2+r_g/r-1}/(\sqrt{A^2+r_g/r-1}-A)$ (11а)

$dr/dt(2)=-c(r_g/r-1)\sqrt{A^2+r_g/r-1}/(\sqrt{A^2+r_g/r-1}+A)$ (12а)

Собственно эти два выражения нам в дальнейшем и понадобятся. Если они верные, то далее можно попытаться понять, что творится на горизонте.

Проведем оценку того, что творится с интервалом $ds^2$ для частиц двигающихся радиально , для этого подставим $dr$ из (11а) и (12а) в первоначальные выражение (1) метрики.

Получим:
$ds^2=c^2dt^2(\sqrt{A^2+r_g/r-1}+A)^2$ (18)

Это убегающая геодезическая . И вторая "падающая":

$ds^2=c^2dt^2(r_g/r-1)^2/(\sqrt{A^2+r_g/r-1}+A)^2 $ (19)

Вы ничего не перепутали? При $r>r_g$ из выражения (8) следует, что $A>0$; тогда из выражения (11а) получается $\frac{dr}{dt}<0$, то есть, это падающая частица, а из выражения (12а) получается, наоборот, $\frac{dr}{dt}>0$, то есть, это убегающая частица. Хотя дальше (где речь идёт о частных решениях), вроде бы (мне так показалось, но я сильно не вникал, проверяйте сами), написано правильно.

schekn в сообщении #755744 писал(а):

Ведь можно вообразить изотоп, который летит радиально в черную дыру и распадается радиально на 2 осколка.

И в чём там проблема с падающим изотопом? Вы не путаете опять падающую и убегающую частицу?

schekn в сообщении #754709 писал(а):

У меня после формул (18) и (19) как раз показано, что одна времениподобная геодезическая по сути становится в одной точке изотропной. То есть $ds^2=0$ на горизонте. Есть теорема, которая говорит, что для времени подобной этого не может быть даже в одной точке. Конечно при более подробном рассмотрении я увидел, что это не так, но это далось ценой расщепления ее на 2 части.

Вообще, полезно бы понять, что ежели "убегающая" частица в начальный момент не находится на горизонте чёрной дыры, то она никогда на этот горизонт не попадёт, если только не превратится в падающую. Поэтому Ваш "радиоактивный изотоп" — это фотон, находящийся на горизонте белой дыры за пределами карты Эддингтона — Финкельштейна. И летящий, естественно, со скоростью света.

schekn в сообщении #755744 писал(а):

Мои оценки связаны не с физ. скоростью, чье определение я не нашел в учебниках

Хм. Обычно в школе определяют скорость как пройденное расстояние, делённое на затраченное время. Только не говорят, что это физическая скорость. Если я не ошибаюсь, Вы где-то на книжку Новикова и Фролова ссылались и упоминали при этом физическую скорость. Там есть формула для физической скорости относительно (синхронной) системы координат: (2.3.7).

А вообще, это ни к чему. Достаточно посмотреть на диаграмму Крускала — Шекереса, чтобы понять, что скорость частицы стремится к скорости света относительно системы координат Крускала — Шекереса не при $r\to+\infty$, а при $v\to\pm\infty$ (при условии, что частица находится во внешней области и не пересекает горизонт). Но я не вижу здесь ничего странного. Системы координат Крускала — Шекереса и Шварцшильда движутся относительно друг друга (в том смысле, что объекты, неподвижные относительно одной системы координат, движутся относительно другой).

schekn в сообщении #755744 писал(а):

(не очень сообразил, почему поверхность $r=r_g$ превратилась в прямые на диаграмме? ведь по формулам получается , что при любых углах и шварцшильдовском времени $ u=0, v=0$ ? И куб в интервале Крускала кажется потеряли $r_g^3$)

Я же Вам писал несколько раз: система координат Шварцшильда распадается на две отдельные карты $r>r_g$ и $0<r<r_g$. Эти карты не включают горизонт, и подставлять в них $r=r_g$ незаконно.
Что касается $r_g^3$, то сегодня специально проверил: подставил в метрику Шварцшильда формулы перехода и получил именно то, что у меня написано. Попробуйте проделать это сами. Формулы здесь: http://dxdy.ru/post755190.html#p755190.

[Munin]

schekn в сообщении #755744 писал(а):

По видимому это и есть некорректно поставленная задача Коши.

Нет, это есть ваше полное непонимание, что такое задача Коши.

Я думал, у вас только с ОТО проблемы, а оказывается, даже с матанализом... Идите почитайте учебник по дифурам, а?

[schekn]

schekn в сообщении #755744 писал(а):

Вы ничего не перепутали? При $r>r_g$ из выражения (8) следует, что $A>0$; тогда из выражения (11а) получается $\frac{dr}{dt}<0$, то есть, это падающая частица, а из выражения (12а) получается, наоборот, $\frac{dr}{dt}>0$, то есть, это убегающая частица. Хотя дальше (где речь идёт о частных решениях), вроде бы (мне так показалось, но я сильно не вникал, проверяйте сами), написано правильно.

Да, перепутал. Надо слова "падающая" и " убегающая" в данном абзаце поменять местами. В остальном вроде расчеты правильные. При одном и том же A=1, на рис. 3 видно, что при $r=r_g+\delta$ улетает полностью от ЧД без возврата (нет точки поворота), а при $r=r_g-\delta$ , она падает (левая синяя ветка). В этом особенность в данных координатах.

schekn в сообщении #755744 писал(а):

И в чём там проблема с падающим изотопом? Вы не путаете опять падающую и убегающую частицу?

Это первое , что пришло в голову. Просто мне нужна была улетающая частица. Хотя , если изотоп достиг горизонта, скорее оба осколка не выйдут за горизонт. А распад чуть выше горизонта возможно требует очень уж большой энергии для улетающего осколка. Тут надо более аккуратно посмотреть.

Someone в сообщении #755778 писал(а):

Я же Вам писал несколько раз: система координат Шварцшильда распадается на две отдельные карты $r>r_g$ и $0<r<r_g$. Эти карты не включают горизонт, и подставлять в них $r=r_g$ незаконно.
Что касается

$$r_g^3$$

, то сегодня специально проверил: подставил в метрику Шварцшильда формулы перехода и получил именно то, что у меня написано. Попробуйте проделать это сами.

Я это понял, просто не согласен. Вне горизонта $r>r_g$ у нас Шварцшильдовская метрика законна и проверяется астрономами. И пока успешно соответствует экспериментам. Так называемая " внутреннее" решение Шварцшильда - это фантазии теоретиков ( я бы сказал - бред Новикова). Даже Вы говорите, что две эти карты все равно не покрывают всего многообразия из-за горизонта. Поэтому , если уж Вам очень хочется решать какие-то задачи в области $0<r<r_g$, то лучше брать метрики типа Леметра, Крускала.. Как это проверить - это отдельный разговор.
Я не работал с Крускалом-Шекересом, но сейчас проведу некоторые расчеты. Мне кажется , Вы там не правы.

-- 19.08.2013, 14:08 --

Munin в сообщении #755824 писал(а):

Нет, это есть ваше полное непонимание, что такое задача Коши.

Когда мы решаем систему дифференциальный уравнений, то вопрос единственности всегда возникает и согласно теореме Ковалевской, единственность доказывается в окрестности некоторой точки. Решение может быть не единственно , в чем я убедился на данном примере. Значит и задачу Коши в окрестности особой точки корректно поставить нельзя. Я Вам постараюсь найти ссылку , как только закончу расчеты с метрикой Крускала.

[Munin]

schekn в сообщении #755952 писал(а):

Решение может быть не единственно , в чем я убедился на данном примере.

Нет, не убедились. Синяя линия вообще через окрестность данной точки (в фазовом пространстве) не проходит. Так что, ваши фантазии - исключительно плод вашего недопонимания.

schekn в сообщении #755952 писал(а):

Значит и задачу Коши в окрестности особой точки корректно поставить нельзя.

Насчёт особой точки - может быть. Но эта точка - не особая. Именно это вам и пытаются донести.

[schekn]

Someone в сообщении #755778 писал(а):

ы где-то на книжку Новикова и Фролова ссылались и упоминали при этом физическую скорость. Там есть формула для физической скорости относительно (синхронной) системы координат: (2.3.7).

А вообще, это ни к чему. Достаточно посмотреть на диаграмму Крускала — Шекереса, чтобы понять, что скорость частицы стремится к скорости света относительно системы координат Крускала — Шекереса не при $r\to+\infty$, а при $v\to\pm\infty$

Провел расчеты.
Сначала о физической скорости. У Новикова-Фролова есть по этому поводу комментарии: физическая скорость это физическое расстояние деленное на физическое время. Исходя из того , что написано между формулами (2.2.2) и (2.2.5) , а также около формулы (2.3.1) это для Шварцшильдовской метрики означает, что если записать ее в таком виде :

$ds^2=c^2dt^2-dl^2$

То отношение $|dl/dt|$ и есть физическая скорость.

Метрика Крускала-Шекереса из той же книги (без углового члена):

$ds^2=4r_g^3/r\exp(-r/r_g)(du^2-dv^2) \quad (2.7.12)$

То есть куб при члене $ r_g^3$ есть, но он в дальнейшем это ни на что не повлияет. Если формально следовать такой инструкции, то физическая радиальная скорость для данной метрики есть отношение пространственно подобного члена к времени подобному. То есть :

$v_f=|dv/du| \qquad(1c)$

(где-то потеряно c , но наверное она сидит в v) . Если у Вас будут сильные возражения по поводу такого определения, то можно заметить, что при таком равенстве (1c) интервал $ds^2 =0$, что соответствует радиальным фотонам и отображается на диаграмме из МТУ в виде прямых под 45 градусов к осям u и v. Для массивных частиц такое невозможно.

Осталось найти данное отношение для радиальных массивных частиц. Возьмем квадрант I на диаграмме из МТУ , что соответствует $r>r_g$. Соотношения перехода между координатами Шварцшильда и Крускала Вами написаны, но я их возьму из той же книги Новикова-Фролова (2.7.14) :

$u=\sqrt{r/r_g-1}\exp(r/2r_g)\ch(ct/2_r_g)$
$v=\sqrt{r/r_g-1}\exp(r/2r_g)\sh(ct/2_r_g)$

или:

$u=\frac{\sqrt{\frac{r}{rg}-1}\,{e}^{\frac{r}{2\,rg}}\,\left( {e}^{\frac{c\,t}{2\,rg}}+{e}^{-\frac{c\,t}{2\,rg}}\right) }{2}$

$v=\frac{\sqrt{\frac{r}{rg}-1}\,{e}^{\frac{r}{2\,rg}}\,\left( {e}^{\frac{c\,t}{2\,rg}}-{e}^{-\frac{c\,t}{2\,rg}}\right) }{2}$

Полные дифференциалы:

$dv=\frac{\partial{v}}{\partial{r}}dr+\frac{\partial{v}}{\partial{t}}dt$

$du=\frac{\partial{u}}{\partial{r}}dr+\frac{\partial{u}}{\partial{t}}dt$

Взял "улетающую" радиальную геодезическую из того же учебника, положив $E/mc^2=1$ (2.3.5):

$dr/dt=-c\,\sqrt{\frac{rg}{r}}\,\left( \frac{rg}{r}-1\right) \quad(2c) $

Это соответствует ситуации , когда в координатах Шварцшильда частица покоится на бесконечности.

Все это подставляем в общую формулу :

$dv/du=(\frac{\partial{v}}{\partial{r}}\frac{dr}{dt}+\frac{\partial{v}}{\partial{t}})/(\frac{\partial{u}}{\partial{r}}\frac{dr}{dt}+\frac{\partial{u}}{\partial{t}})\quad(3c)$

И получаем (главное не запутаться):

$dv/du=\frac{(\sqrt{r_g}+\sqrt{r})\exp(ct/r_g)-(\sqrt{r_g}-\sqrt{r})}{(\sqrt{r_g}+\sqrt{r})\exp(ct/r_g)+(\sqrt{r_g}-\sqrt{r})}\quad(4c)$

Интегрируем (2с) и получаем:

$t=(r_g/c)(\ln(\frac{\sqrt{r}-\sqrt{r_g}}{\sqrt{r}+\sqrt{r_g}})+2\sqrt{r/r_g}+2/3(r/r_g)^{3/2})\quad(5c)$

Находим:

$\exp(ct/r_g)=\frac{\sqrt{r}-\sqrt{r_g}}{\sqrt{r}+\sqrt{r_g}}\exp(2\sqrt{r/r_g}+2/3(r/r_g)^{3/2})\quad(6c)$

заменим выражение под экспонентой $\beta=2\sqrt{r/r_g}+2/3(r/r_g)^{3/2}$ и подставим в (4с):

$dv/du=\frac{\exp(\beta)-1}{\exp(\beta)+1}\quad(7c)$

Видно, что $(7c) $стремится к 1 при r стремящемся к бесконечности. ТО есть асимптотически к скорости света. Что соответствует моему выводу.

[Munin]

schekn в сообщении #756166 писал(а):

Осталось найти данное отношение для радиальных массивных частиц.

Как можно найти то, что задаётся произвольно?

[schekn]

Munin в сообщении #756227 писал(а):

Как можно найти то, что задаётся произвольно?

Не совсем произвольно. Я наложил ограничения на радиальные геодезические (в координатах Шварцшильда): $E/mc^2=1$ , И взял только убегающую ( для падающей будет тот же результат). Мне необходимо было показать, что $dv/du=1$, когда частица удаляется на бесконечность от ЧД. Что я и проделал.

-- 21.08.2013, 16:17 --

Munin в сообщении #755982 писал(а):

Насчёт особой точки - может быть. Но эта точка - не особая. Именно это вам и пытаются донести.

Если мы возьмем окрестность любой точки вне горизонта $r>r_g$ , то согласно расчетам мы получим 2 радиальные времени подобные при одном фиксированном A - улетающую и падающую. В малой окрестности любой точки на горизонте $r=r_g$ , мы получаем 3 радиальных геодезических в координатах Эдд-Фин. : две падающих и одну улетающая. В этом особенность.
В координатах Крускала-Шекереса мы действительно избавились от данной особенности на горизонте. Но мы ее перенесли в область на бесконечности. То есть все равно частица достигнет скорости света в данной модели пространства-времени. Ну если Вам от этого легче..

[Someone]

schekn в сообщении #756392 писал(а):

В малой окрестности любой точки на горизонте $r=r_g$ , мы получаем 3 радиальных геодезических в координатах Эдд-Фин. : две падающих и одну улетающая.

У Вас галлюцинации. В сжимающейся системе координат Эддингтона — Финкельштейна убегающая геодезическая не может начинаться от горизонта. А падающая только одна. Она приходит издалека, достигает горизонта и продолжается внутрь.
Вообще, я ведь спрашивал у Вас уже: о каким именно горизонте из четырёх Вы говорите? Покажите его на диаграмме Крускала — Шекереса. Система координат Эддингтона — Финкельштейна содержат только один из четырёх горизонтов, система координат Шварцшильда — ни одного.

schekn в сообщении #756392 писал(а):

Но мы ее перенесли в область на бесконечности.

Вот с бесконечностью Вы и запутались. Бесконечные значения координат нельзя подставлять в формулы. $\infty$ — не число, и с этим символом нельзя обращаться как с числом. Координатная карта не включает бесконечных значений координат.

schekn в сообщении #756166 писал(а):

Метрика Крускала-Шекереса из той же книги (без углового члена):

$ds^2=4r_g^3/r\exp(-r/r_g)(du^2-dv^2) \quad (2.7.12)$

То есть куб при члене $ r_g^3$ есть, но он в дальнейшем это ни на что не повлияет.

Я видел. И что?

schekn в сообщении #755952 писал(а):

Я это понял, просто не согласен.

С чем? Если Вы не верите мне, что у меня получается выражение без $r_g^3$, проделайте указанную мной замену координат сами. Или Вы самому себе тоже не верите?

schekn в сообщении #756166 писал(а):

Видно, что $(7c) $стремится к 1 при r стремящемся к бесконечности. ТО есть асимптотически к скорости света. Что соответствует моему выводу.

Обратите внимание, что на убегающей геодезической при $r\to+\infty$ также и временнáя координата $v\to+\infty$, поэтому это не противоречит тому, что я сказал.
Но если Вы возьмёте мировую линию покоящегося (относительно шварцшильдовской системы координат) наблюдателя, то легко обнаружите, что его скорость относительно системы координат Крускала — Шекереса тоже стремится к скорости света при $v\to\pm\infty$. Однако при этом $r$ остаётся постоянным и к бесконечности не стремится.

Вообще, Ваша упёртость просто поражает. Вот пример из этой темы.

schekn в сообщении #754384 писал(а):

Физический смысл постоянной A я не буду пока рассматривать. Дело в том, что Новиков-Фролов ссылаются на Богородского, но у него, и в подобных решениях у Брумберга , у Гильберта, фигурирует просто интеграл движения А. Почему у них появилось вместо этого $E/mc^2$, пусть остается на совести авторов. Скорее надо было сослаться на Ландау-Лифшица. При переходе к метрике Шварцшильда , у меня (может случайно) получилось , что $A=E/mc^2$.

То есть, Вы доказали, что $A=\frac E{mc^2}$, но всё равно этому не верите. То же самое с устранением сингулярности на горизонте: Вы видите, что в других (не шварцшильдовских) координатах сингулярности на горизонте может и не быть, но всё равно упираетесь.

[Munin]

schekn в сообщении #756392 писал(а):

Я наложил ограничения на радиальные геодезические

То есть, вы решаете не задачу Коши. Так и скажите честно самому себе. А не пудрите себе мозги.

schekn в сообщении #756392 писал(а):

Если мы возьмем окрестность любой точки вне горизонта $r>r_g$ , то согласно расчетам мы получим 2 радиальные времени подобные при одном фиксированном A

Потому что вы опять не решаете задачу Коши. В задаче Коши фиксирована не $A.$ В задаче Коши фиксирована $dr/dt.$ А ваша $A$ - это мусорный параметр, и пока вы не выкинете её из головы, вы ничего не поймёте.