Комбинаторная задачка по теорверу

[Dosaev]

Помогите разобраться с решением задачи по теории вероятностей с элементами комбинаторики.
Задача.
Пять друзей живут вместе. Они решили, что утром они будут тянуть жребий — кому из них пойти в магазин, чтобы купить к завтраку свежего хлеба. На одной из пяти бумажек будет стоять буква «x» и тот, кто вытянет талон с этой буквой, должен идти за покупкой.
Для кого из друзей вероятность вытянуть талон «х» будет наименьшей:
для того, кто тянет жребий первым, вторым, третьим, четвертым или пятым?
Решение.
Исходом здесь следует назвать любую из $5!$ перестановок 5 (талонов). Найдем вероятность того, что билет "x" достанется $k$-му по счету другу. Этому событию благоприятствуют все случаи, в которых талон "x" вытаскивается $k$-м по счету, а остальные четыре талона могут пояляться на любом по счету месте. Это может произойти $4!$ способами. Таким образом, вероятность вытянуть талон "x" $k$-му по счету другу равна

$P_k = \frac{4!}{5!} = \frac{1}{5}.$

Эта вероятность не зависит от $k$, т. е. от того, каким по порядку очередности вытягивать жребий, так что последний в очереди имеет такую же вероятность вытянуть жребий, как и первый.

У меня такой вопрос: почему здесь учитываются перестановки? Ведь тут всего лишь два типа талонов: один с "x", а остальные без. То есть не понятно, почему исход $5!$ перестановок и почему 4 других талона могут вытянуться $4!$ способами.
Задача взята из книжки Колмогорова, Журбенко, Прохорова "Введение в теорию вероятностей".

[TOTAL]

Dosaev в сообщении #755450 писал(а):

У меня такой вопрос: почему здесь учитываются перестановки? Ведь тут всего лишь два типа талонов: один с "x", а остальные без. То есть не понятно, почему исход $5!$ перестановок и почему 4 других талона могут вытянуться $4!$ способами.
Задача взята из книжки Колмогорова, Журбенко, Прохорова "Введение в теорию вероятностей".

0) Если "остальные" талоны пометить (невидимыми чернилами) различными буквами, то вопрос исчезнет?
1) Если "остальные" талоны пометить различными буквами, то вопрос исчезнет?
2) С буквами на "остальных" талонах вероятность пойти за хлебом изменится?

[Dosaev]

0) и 1) Да, вопрос исчезнет, но каков смысл в этом? "Остальные" талоны все равно достоверно говорят нам о том, что в магазин не идти, будь они с буквами или без.
2) Нет, не изменится.

[Sinoid]

А можно и так: Нумеруем талоны и друзей: 1,2,3,4,5, запишем подстановку, в верхней строке которой идут друзья в порядке жеребьевки, а в нижней- доставшиеся им талоны и допустим, идет тот, кому достался талон 1. Вероятность быть случайно выбранной у всякой подстановки одинакова, а т.к. у всякой подстановки в нижней строке стоит 1, то всякая подстановка определяет некоторый исход жеребьевки. Замечу, что в этом случае подстановки, которые различаются порядком в верхней строке, но при этом определенные элементы верхней строки переходят в определенные элементы нижней строки, определяют разные исходы жеребьевки в смысле порядка следования друзей.

[ewert]

(Оффтоп)

Dosaev в сообщении #755450 писал(а):

Пять друзей живут вместе. Они решили, что утром они будут тянуть жребий — кому из них пойти в магазин, чтобы купить к завтраку свежего хлеба. На одной из пяти бумажек будет стоять буква «x» и тот, кто вытянет талон с этой буквой, должен идти за покупкой.
Для кого из друзей вероятность вытянуть талон «х» будет наименьшей:
для того, кто тянет жребий первым, вторым, третьим, четвертым или пятым?

Отвратительная формулировка. При чём тут живут, утро, свежий, магАзин, батон, в конце-то концов? -- уж ладно б за водкой, пусть и с утра. Подобные "Войны и миры" сочиняют специально для того, чтоб сбить подопытного с толку. Это неспортивно.

Dosaev в сообщении #755450 писал(а):

У меня такой вопрос: почему здесь учитываются перестановки?

По глупости учитываются, они тут совершенно не при чём.

На первый взгляд это в точности задачка на теорему умножения вероятностей. Тупо считаем: для первого вероятность "выиграть" (в смысле проиграть, конечно) есть $\frac15$, естественно. Для второго -- соответственно, $\frac45\cdot\frac14=\frac15$, чего тут думать-то. Для третьего -- $\frac45\cdot\frac34\cdot\frac13=\frac15$ и т.д. В общем, для всех получается ровно $\frac15$.

А вот после того, как очевидный результат получен, полезно призадуматься. С чего это они вдруг оказались одинаковыми-то?... Наверное, это жу-жу неспроста.

Тогда надо просто заменить постановку опыта на явно эквивалентную. Пусть они тянут фантики до посинения, т.е. до исчерпания фантиков, невзирая ни на что. Результатом же опыта считается номер шага, на котором выпал окрещённый фантик (кролики не знают, выпал или нет -- пусть себе тянут дальше, на процедуру это никак не повлияет). Вопрос при этом сводится к следующему: какова вероятность того, что заранее выбранный наугад номер фантика выпадет на тот или иной шаг? Ну тут всё ясно.

Т.е. эта задачка для темы "комбинаторная вероятность" откровенно преждевременна (ибо эта тема -- самая первая). Она крайне полезна, но уже гораздо позже -- в первую очередь для шевеления мозгов, ну и для напоминания о том, что комбинаторные вероятности тоже бывают кстати.

[Otta]

Dosaev в сообщении #755499 писал(а):

0) и 1) Да, вопрос исчезнет, но каков смысл в этом? "Остальные" талоны все равно достоверно говорят нам о том, что в магазин не идти, будь они с буквами или без.

Смысл в том, что формула классической вероятности используется, когда элементарные исходы равновероятны. Если элементарные исходы { вытянуть первый талон,... пятый талон}, то они равновероятны. Если Вы назначите элементарными {c буквой х, без буквы x}, очевидно, равновероятными они не будут. И формула классической вероятности, так, как Вы себе это похоже мыслите, в этой ситуации неприменима.

-- 18.08.2013, 02:12 --

ewert
Можно еще так. Пусть наши друзья берут талончики по очереди, но не открывают их. Просто раздаем их, как карты. А теперь смотрим. Какова вероятность, что буква "х" оказалась у определенного товарисча? Конечно, $1/5$. Она с равной вероятностью может оказаться у кого угодно.

(Просто вопрос был не в том, как лучше решать эту задачу. А откуда взялось это решение, и почему не иначе.)

-- 18.08.2013, 02:17 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #755669 писал(а):

Это неспортивно.

[Sinoid]

Я тут подумал и надумал вот что: выкладки-то будут еще зависеть от способа проведения жеребьевки. Если каждый вытянул и тут же показал результат, это одни дроби, а если все открываются после того, как все вытянули, это другие дроби, хотя итог один. А можно спросить: автор вопроса и вправду так юн?

[Otta]

Sinoid в сообщении #755685 писал(а):

выкладки-то будут еще зависеть от способа проведения жеребьевки.

Не будут. Способ проведения жеребьевки никак не влияет на поведение карточки.

[Sinoid]

Я имел ввиду сами формулы. Найдем, например, вероятность того, что талон "x" вытянет третий участник при условии, что каждый участник показывает карточку сразу после того, как он ее вытянул. Она равна $P_3=\frac{(5\cdot4\cdot3)\cdot(4\cdot3)}{(5\cdot4\cdot3)^2}=\frac{1}{5}$. Результат тот же, а дробь для вычисления другая.

[Dosaev]

ewert в сообщении #755669 писал(а):

На первый взгляд это в точности задачка на теорему умножения вероятностей. Тупо считаем: для первого вероятность "выиграть" (в смысле проиграть, конечно) есть $\frac15$, естественно. Для второго -- соответственно, $\frac45\cdot\frac14=\frac15$, чего тут думать-то. Для третьего -- $\frac45\cdot\frac34\cdot\frac13=\frac15$ и т.д. В общем, для всех получается ровно $\frac15$.

ewert, спасибо, но эта задачка до этой теоремы, хотя все подходы хороши .

Otta в сообщении #755673 писал(а):

ewert
Можно еще так. Пусть наши друзья берут талончики по очереди, но не открывают их. Просто раздаем их, как карты. А теперь смотрим. Какова вероятность, что буква "х" оказалась у определенного товарисча? Конечно, $1/5$. Она с равной вероятностью может оказаться у кого угодно.

(Просто вопрос был не в том, как лучше решать эту задачу. А откуда взялось это решение, и почему не иначе.)

Otta, была такая идейка, но хотелось разобраться в решении. Спасибо

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #755685 писал(а):

А можно спросить: автор вопроса и вправду так юн?

Ну не так уж юн, но вообще молод.