Любителям квадратных трёхчленов

[arqady]

Действительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $|a+b+c|\leq1$, $|4a+2b+c|\leq1$ и $|c|\leq1$.
Докажите, что $|a|+|b|+|c|\leq7$.

[nnosipov]

Нашёл у себя в следующем виде: найти квадратный трёхчлен $ x^2+bx+c$, который наименее отклоняется от нуля на множестве точек $\{0,1,2\}$. Ничего проще интерполяционного многочлена предложить не могу.

[mihailm]

Это многогранник - все вершины подставить в доказываемое равенство

[nnosipov]

mihailm в сообщении #755421 писал(а):

Это многогранник - все вершины подставить в доказываемое равенство

Но целевая функция-то --- нелинейная. Здесь ещё какие-то слова нужно произносить.

[sergei1961]

Ну да, из оценки в трёх точках надо оценить коэффициенты. Наверное обобщается на многочлены?

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #755435 писал(а):

Наверное обобщается на многочлены?

Думаю, да. Несколько первых примеров чудес не обещают.

[mihailm]

nnosipov в сообщении #755433 писал(а):

mihailm в сообщении #755421 писал(а):

Это многогранник - все вершины подставить в доказываемое равенство

Но целевая функция-то --- нелинейная. Здесь ещё какие-то слова нужно произносить.

Ну это да.
Но мне больше не нравится что вершины можно подставлять вроде только тогда когда тело в условии ограниченное, это надо еще доказывать

[nnosipov]

mihailm в сообщении #755463 писал(а):

это надо еще доказывать

Но это-то как раз очевидно --- параллелепипед, что там ещё может быть.

nnosipov в сообщении #755433 писал(а):

Здесь ещё какие-то слова нужно произносить.

Достаточно сказать "выпукла вниз".

Но вообще такой подход с вершинами плохо обобщается.

[Mr. X]

Если $f(x)=ax^2+bx+c$, то $|f(1)|\le 1$, $|f(2)|\le 1$, $|f(0)|\le 1$. Откуда $|a|+|b|+|c|=|-f(1)+1/2f(2)+1/2f(0)|+|2f(1)-1/2f(2)-3/2f(0)|+$ $+|f(0)|\le 3|f(1)|+|f(2)|+3|f(0)|\le 7$.

[ewert]

Кто-нибудь может объяснить, в чём тут юмор (в исходной задаче)?... Ясно, что нужно подставлять вершины. А из симметрии следует, что достаточно рассматривать $c=-1$ (ну или $c=1$, но первое удобнее для устного счёта). После чего хоть какое-то занудство напрочь исчезает, и можно больше уже ни о чём не задумываться.

[nnosipov]

ewert, посмотрите на эту задачу пошире --- для многочлена произвольной степени. Можно также заменить множество точек на центрально симметричное, должно быть интересней (во всяком случае, непрерывный аналог этой задачи становится гораздо интересней).

-- Сб авг 17, 2013 22:50:41 --

ewert в сообщении #755545 писал(а):

Ясно, что нужно подставлять вершины.

Кстати, как Вы это объясните?

[arqady]

ewert в сообщении #755545 писал(а):

Кто-нибудь может объяснить, в чём тут юмор (в исходной задаче)?...

Юмор в том, что квадратный трёх-член здесь ни при чём, а только мешает, по-моему.

[ewert]

nnosipov в сообщении #755554 писал(а):

Кстати, как Вы это объясните?

Выпуклостью внешнего и многогранностью вкупе с ограниченностью внутреннего. Естественно. Чем ещё-то?!

[nnosipov]

ewert в сообщении #755565 писал(а):

Чем ещё-то?!

Не знаю. Я это объяснил также.

arqady в сообщении #755558 писал(а):

Юмор в том, что квадратный трёх-член здесь ни при чём, а только мешает, по-моему.

А чем мешает-то?

[arqady]

nnosipov в сообщении #755569 писал(а):

А чем мешает-то?

Здесь это сорное понятие. Если мы хотим достичь оптимального значения так, чтобы все ограничения превратились в равенства, то такого квадратного трёхчлена может не существовать (здесь он, понятно, случайно существует. Можно ведь добавить ещё ограничение ).