Любителям квадратных трёхчленов

[sergei1961]

Получается, как я понимаю, задача о том, чтобы выразить коэффициенты многочлена через его значения в том же количестве, сколько и коэффициентов. Для коэффициентов через значения система со степенным определителем получается (или как принято говорить Вандермонда). Вроде есть явная формула для обращения матрицы и выражения коэффициентов (например, в Кнуте). Потом берём сумму по модулю, как сделано здесь для трёхчлена, используем неравенства для значений.

Если это так, то представляется что всё равно: целые-нецелые точки, равномерные-неравномерные, одинаковые или нет неравенства.

Хорошая тема для статьи, если это уже не сделано.

[arqady]

Как-то мне, видимо, не удаётся объяснить.
Может, моё решение объяснит, что я хочу сказать?

arqady в сообщении #755402 писал(а):

Действительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $|a+b+c|\leq1$, $|4a+2b+c|\leq1$ и $|c|\leq1$.
Докажите, что $|a|+|b|+|c|\leq7$.

Пусть $a+b+c=p$ и $4a+2b+c=q$.
Тогда $a=\frac{q}{2}-p+\frac{c}{2}$ и $b=2p-\frac{q}{2}-\frac{3c}{2}$.
Поэтому $|a|+|b|+|c|\leq\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1=7$.
Ну и где здесь был квадратный трёхчлен?

[nnosipov]

arqady
Мне показалось, Вы имели в виду обобщение в том духе, что я выше описал. Но если так, то тогда вершины подставлять, что довольно очевидно. А что ещё можно предложить в общем случае? Задача приобрела бы интерес, если бы у линейных форм под знаком модуля была бы какая-то специфика (многочленная, к примеру).

-- Вс авг 18, 2013 00:22:19 --

arqady в сообщении #755591 писал(а):

Может моё решение обяснит, что я хочу сказать?

Три независимые линейные формы от трёх переменных, это понятно.

sergei1961 в сообщении #755583 писал(а):

Если это так, то представляется что всё равно: целые-нецелые точки, равномерные-неравномерные, одинаковые или нет неравенства.

Хорошая тема для статьи, если это уже не сделано.

Ну, я парочку статей лет пять назад и написал для непрерывного аналога этой задачи. В дискретном варианте, предполагаю, будет что-то похожее.

[sergei1961]

Я понял, что можно без трёхчлена-многочлена. Но можно сформулировать задачу и с ним.
Пусть задан многочлен $P_n(x)=a_n x^n+\cdots$. Задан набор точек ${x_0, x_1,\cdots,x_n}$ и оценки значений многочлена в этих точках сверху вида $|P_n(x_k)|\le b_k$. Найти оценку выражения $|a_n+\cdots|$ сверху.

План решения. Записываем систему $P_n(x_k)=c_k$, смотрим на неё как на систему для нахождения коэффициентов $a_k$ через значения $c_k$. Решаем явно, так как известна обратная матрица в общем виде. Получаем выражения коэффициентов многочлена через $c_k$. Теперь любую линейную, да похоже и не только, форму от коэффициентов можно оценить сверху по модулю через $c_k$, а потом и через их оценки $b_k$.

Получится некоторая оценка, явная. Другой вопрос, точная ли, достигается ли...

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #755607 писал(а):

Получится некоторая оценка, явная. Другой вопрос, точная ли, достигается ли...

Будет точной, если все точки $x_k$ по одну сторону от нуля. Достигается на многочлене с альтернансом в этих точках. (Это --- для простой суммы модулей коэффициентов.)

[sergei1961]

Можно ссылку на работу для непрерывного случая?

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #756100 писал(а):

Можно ссылку на работу для непрерывного случая?

Отправил ЛС.

[sergei1961]

Спасибо. Только русский вариант не нашёл, не перешлёте, если есть возможность?
Или ткните просто, где не нашёл...