Нужно ли учить Математи́ческий ана́лиз?

[ДДмитрий]

apriv в сообщении #754797 писал(а):

Ну вот я открыл его трактат «Курс математического анализа», страница 8, и увидел, что упорядоченная пара $(x,y)$ определяется, во-первых, только по двухэлементному множеству $\{x,y\}$ (то есть, пар вида $(x,x)$ в природе не бывает), а во-вторых, неверно: положить $(x,y) = \{x,\{x,y\}\}$ нельзя, если нет аксиомы регулярности, про которую ни слова. Правильный ответ, например, такой: $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$.

Прошу прощения, но есть вопрос от человека далекого от теор. множеств.
Правильно ли я понимаю, что определение $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$ лучше $(x,y) = \{x,\{x,y\}\}$ только тем, что не привлекает дополнительную аксиому теор. множеств?
Если да, то тогда мне кажется, что с точки зрения учебника запись $(x,y) = \{x,\{x,y\}\}$ лучше, поскольку единообразнее обходится со всеми упорядоченными парами. Ведь, если $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$, то $(x,x) = \{\{x\},\{x,x\}\} = \{\{x\},\{x\}\} = \{\{x\}\}$, т.е. получили одноэлементное множество.
А если $(x,y) = \{x,\{x,y\}\}$, то тогда $(x,x) = \{x,\{x,x\}\} = \{x,\{x\}\}$. А тут двухэлементное множество, что, как мне кажется, естественнее.

[apriv]

ДДмитрий в сообщении #755216 писал(а):

Прошу прощения, но есть вопрос от человека далекого от теор. множеств.
Правильно ли я понимаю, что определение $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$ лучше $(x,y) = \{x,\{x,y\}\}$ только тем, что не привлекает дополнительную аксиому теор. множеств?

В целом да. Замечание про двухэлементность справедливо (хотя у Кудрявцева, напомню, пары $(x,x)$ вообще не существует), но есть и другие соображения: во-первых, при стандартном определении натуральных чисел в сочетании с определением упорядоченной пары по Кудрявцеву получаем, что $2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=(0,0)$, что забавно. Во-вторых, даже если $a$ и $b$ были одного типа, элементы пары Кудрявцева окажутся разных типов.

[Munin]

apriv в сообщении #755229 писал(а):

получаем, что $2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=(0,0)$, что забавно

Это же мелочь. Надеюсь, на операции с комплексными числами не влияет?

apriv в сообщении #755229 писал(а):

Во-вторых, даже если $a$ и $b$ были одного типа, элементы пары Кудрявцева окажутся разных типов.

Не слишком ли круто в учебнике матанализа систему типов вводить?

[apriv]

Munin в сообщении #755240 писал(а):

Не слишком ли круто в учебнике матанализа систему типов вводить?

При чем тут учебник матанализа? Мы уже два раза выяснили, что в учебнике матанализа определение упорядоченной пары не нужно вовсе. Речь только о том, насколько бессмысленно определение Кудрявцева в принципе.

[la1488]

ДДмитрий писал(а):

…мне кажется, что с точки зрения учебника запись $(x,y) = \{x,\{x,y\}\}$ лучше, поскольку единообразнее обходится со всеми упорядоченными парами. Ведь, если $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$, то $(x,x) = \{\{x\},\{x,x\}\} = \{\{x\},\{x\}\} = \{\{x\}\}$, т.е. получили одноэлементное множество.

Это не вызывает никаких проблем. Мало того, страницей ранее Куратовский и Мостовский специально указывают, что неупорядоченная пара может представлять собой множество из одного элемента. (Впрочем, они не пользуются словами типа «одноэлементное множество» и «двухэлементное множество», поскольку никакой «подсчёт» элементов множества к этому месту ещё не определён.) Упорядоченная пара из одного элемента в явном виде не рассматривается, но её существованию тоже ничто не мешает.

[Munin]

apriv в сообщении #755284 писал(а):

При чем тут учебник матанализа?

Ясно. Но разве система типов в теории множеств обязательна вообще? Я думал, это один из вариантов, как можно всё представить, и не более того...

[Oleg Zubelevich]

С моей точки зрения apriv
очень сильно перегибает палку. Не надо ставить абстрактную теорию множеств во главу угла. Практически все учебники анализа написаны ная языке наивной теории множеств, в том числе и замечательные учебники. Лорана Шварца Вы вряд ли станете упрекать в нестрогости. Хотя разумеется, делать ошибки в учебнике нельзя.

[Yuri Gendelman]

Oleg Zubelevich в сообщении #755343 писал(а):

Не надо ставить абстрактную теорию множеств во главу угла.

Это может быть следствием чтения Бурбаки в порядке нумерации томов.

[Sonic86]

ДДмитрий в сообщении #755216 писал(а):

А тут двухэлементное множество, что, как мне кажется, естественнее.

ИМХО, определение упорядоченной пары $(x,y)$ как $\{\{x\},\{x,y\}\}$ и ему подобные сразу неестественны (хотя, конечно, они доказывают их существование). Потому говорить о том, какое определение пары более естественно несколько странно. Например, если приглядется, в матане энки $((x,y), z), (x,(y, z)), (x,y,z)$ не различаются, в то время как с позиции определения выше $((x,y), z)\neq (x,(y, z))$ (я не поленился, и выписал обе энки. Они, причем, даже "близко" не равны), а третий терм вообще не определен.

[apriv]

Sonic86 в сообщении #755806 писал(а):

Потому говорить о том, какое определение пары более естественно несколько странно. Например, если приглядется, в матане энки $((x,y), z), (x,(y, z)), (x,y,z)$ не различаются

Я не знаю, как там «в матане», но в математике это три разные вещи, хоть они и изоморфны друг другу каноническим образом.

[Munin]

apriv в сообщении #755860 писал(а):

Я не знаю, как там «в матане», но в математике это три разные вещи, хоть они и изоморфны друг другу каноническим образом.

По определению из Википудии, две последние вещи - одно и то же. Там то самое не любое вам определение Куратовского.

[MoonGuard]

Хм...так я понимаю, Фихтенгольц (3 томник) не самый лучший выбор? Когда я хотел укрепить знания в матане, мне посоветовали его. Сам я программист, и ,честно сказать, мне немного трудно некоторые вещи и док-ва даются из-за того, что много приходится додумывать, т.е. автор считает это настолько очевидным, что пояснять не надо, но для меня сиё очевидным не является и иногда возникают проблемы в док-ах и примерах.
Мне нужен матан на том уровне, что бы я смог изучить интересующие меня темы в компьютерной графике. Криволинейные поверхности, фракталы и т.д.
P.s. учитывая, как срезали программы в ВУЗах для бакалавров, на ВУЗ надеяться почти не имеет смысла.

[apriv]

Munin в сообщении #755871 писал(а):

По определению из Википудии, две последние вещи - одно и то же. Там то самое не любое вам определение Куратовского.

В некоторых конструкциях, действительно, произведение трех множеств (случайно) совпадает с одним из двух вариантов расстановки скобок в кратном бинарном произведении. Это происходит, если произведение конечного числа множеств определять индуктивно. Зачем это делать, совершенно не понятно, поскольку произведение бесконечного числа множеств так все равно не определить. На самом деле, конечно, декартово произведение — это просто произведение в категории множеств, откуда и вытекает, что три указанные вещи совпадают.

[Ales]

MoonGuard в сообщении #755873 писал(а):

Хм...так я понимаю, Фихтенгольц (3 томник) не самый лучший выбор? Когда я хотел укрепить знания в матане, мне посоветовали его. Сам я программист, и ,честно сказать, мне немного трудно некоторые вещи и док-ва даются из-за того, что много приходится додумывать, т.е. автор считает это настолько очевидным, что пояснять не надо, но для меня сиё очевидным не является и иногда возникают проблемы в док-ах и примерах.
Мне нужен матан на том уровне, что бы я смог изучить интересующие меня темы в компьютерной графике. Криволинейные поверхности, фракталы и т.д.

Я думаю, что Фихтенгольц хороший учебник,
но совсем не обязательно учить полный курс матана,
чтобы разобраться во фракталах и криволинейных поверхностях.

Учебники состоят в основном из доказательств,
которые имеют такую схему:
1. получаем оценку,
2. переходим к пределу,
3. предел существует согласно аксиомам, теории множеств и т.п.
Для программиста достаточно 1-го шага.

[Munin]

Фракталы - штука вообще от матана далёкая. То, что они тоже встречаются в компьютерной графике - не повод их сюда приплетать.

Искривлённые поверхности изучает такая штука, как дифференциальная геометрия. (Причём, курсы и учебники "дифференциальной геометрии" делятся на два почти непересекающихся подмножества: "старые несерьёзные", обсуждающие кривые и поверхности в 2- и 3-мерном пространстве, и "новые серьёзные", обсуждающие внутреннюю геометрию $k$-мерных многообразий, и иногда - их вложений и погружений в $n$-мерные пространства (а иногда - другие темы). Математикам ценны вторые, а компьютерщикам - первые.)