Не могу понять формулировку задачи

[TOTAL]

namhel в сообщении #753958 писал(а):

TOTAL в сообщении #753955 писал(а):

Кто сказал, что нужно? Так как он будет выглядеть?

Ну если Вы настаиваете, то, например, так $z^n + z + 1$. Много членов? Значит многочлен.

А в общем виде?

[namhel]

TOTAL в сообщении #753960 писал(а):

А в общем виде?

А кому он нужен в общем виде и зачем? Да, кстати, это же Вы ввели термин многочлен для ненатурального $n$, вот Вам и карты в руки.

[TOTAL]

namhel в сообщении #753963 писал(а):

TOTAL в сообщении #753960 писал(а):

А в общем виде?

А кому он нужен в общем виде и зачем? Да, кстати, это же Вы ввели термин многочлен для ненатурального $n$, вот и вроде как Вам и карты в руки.

Оставьте карты себе, ведь это Вы посчитали, что в сформулированной задаче могут быть такие "корни".

[namhel]

TOTAL в сообщении #753964 писал(а):

Оставьте карты себе, ведь это Вы посчитали, что в сформулированной задаче могут быть такие "корни".

Про многочлены Вы заговорили. А теперь вспомните, что Вы ответили на мой вопрос как многочлены связаны с исходной задачей. Если забыли, можете перечитать.

А то, что я так посчитал -- да, я привык, что корни как и степени имеют право быть ненатуральными.

[Dave]

Я считаю, что стартовый вопрос namhel, а также этот пост:

namhel в сообщении #753932 писал(а):

$3/5+4i/5 = \sqrt[n]{1}$, где $n = \frac{2 \pi}{\arctg(3/4)}$.

с заменой $\arctg(3/4)$ на $\arctg(4/3)$, не лишены оснований.
Когда речь идёт о действительном анализе, то корень из $1$ только один (если не рассматривать алгебраические корни, тогда максимум, что добавляется - это $-1$).
Когда же речь идёт о комплексном анализе, здесь ещё важно, какой степени извлекается корень. И вполне может получиться, как в рассматриваемом случае, что корней счётное число. Поэтому никогда не лишним будет уточнить, что подразумевается именно корень натуральной степени из $1$.

[Xaositect]

Есть общепринятый алгебраический термин "корень из единицы" (root of unity), который означает корень многочлена вида $z^n - 1$.

[nnosipov]

Dave в сообщении #753969 писал(а):

Когда же речь идёт о комплексном анализе

Задача алгебраическая и вполне содержательная. Если понимать корень как степень с произвольным показателем, то задачи никакой нет. Неужели это не настораживает?

[nikvic]

namhel в сообщении #753965 писал(а):

я привык, что корни как и степени имеют право быть ненатуральными.

Отучайтесь, если хотите понимать и быть понятым.

[Dave]

nnosipov в сообщении #753972 писал(а):

Dave в сообщении #753969 писал(а):

Когда же речь идёт о комплексном анализе

Задача алгебраическая и вполне содержательная. Если понимать корень как степень с произвольным показателем, то задачи никакой нет. Неужели это не настораживает?

Но ведь Вы же сами писали, что условие той задачи написано небрежно. А если автор допустил одну небрежность, то возможны и другие.

nikvic в сообщении #753979 писал(а):

namhel в сообщении #753965 писал(а):

я привык, что корни как и степени имеют право быть ненатуральными.

Отучайтесь, если хотите понимать и быть понятым.

А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?

[Someone]

Dave в сообщении #753983 писал(а):

А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?

Видите ли, степень $x^y$ определяется для любых действительных $x>0$ и $y$. Когда я учился в школе, это построение входило в школьную программу (не очень строго, поскольку понятия предела не было). Что касается значка $\sqrt[n]{x}$, то он определяется только для натуральных $n\geqslant 2$ (причём, $n=2$ принято явно не указывать).

[nnosipov]

Dave в сообщении #753983 писал(а):

А если автор допустил одну небрежность, то возможны и другие.

Небрежности --- да, бывают, но считать автора задачи идиотом (пардон) apriori не стоит. И потом, есть же контекст. Наконец, решение задачи можно почитать.

Dave в сообщении #753983 писал(а):

А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?

Вспомните теорему Гельфонда о числах вида $\alpha^\beta$ --- проблемы нет, просто фиксируется (произвольным образом) ветвь логарифма, и в оценках участвуют параметры этой ветви.

[Dave]

Someone в сообщении #753987 писал(а):

Что касается значка $\sqrt[n]{x}$, то он определяется только для натуральных $n\geqslant 2$

Впервые об этом слышу. Я всегда считал, что не будет ничего страшного, если написать, к примеру, $\sqrt[e] {\pi}$. Другое дело, что пишут обычно $\pi^{\frac 1 e}$. Но это вопрос удобства для того, кто пишет.

-- 11.08.2013, 22:19 --

nnosipov в сообщении #753988 писал(а):

Вспомните теорему Гельфонда о числах вида $\alpha^\beta$ --- проблемы нет, просто фиксируется (произвольным образом) ветвь логарифма, и в оценках участвуют параметры этой ветви.

Так ведь $\pi$ - не алгебраическое число и теорема Гельфонда здесь неприменима.

[nikvic]

А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?
Без проблем. Показатель степени - любое действительное, а вот использование термина корень всеми математиками понимается как "целый корень".

[nnosipov]

Dave в сообщении #753990 писал(а):

Так ведь $\pi$ - не алгебраическое число и теорема Гельфонда здесь неприменима.

Само собой, не применима. Вы же спрашивали, что такое $\pi^e$, а это можно понимать, например, так, как понимается выражение $\alpha^\beta$ в теореме Гельфонда. А можно понимать и по-простому --- как вещественное число $\pi^e$.

[Someone]

(Dave)

Dave в сообщении #753990 писал(а):

Someone в сообщении #753987 писал(а):

Что касается значка $\sqrt[n]{x}$, то он определяется только для натуральных $n\geqslant 2$

Впервые об этом слышу. Я всегда считал, что не будет ничего страшного, если написать, к примеру, $\sqrt[e] {\pi}$. Другое дело, что пишут обычно $\pi^{\frac 1 e}$. Но это вопрос удобства для того, кто пишет.

Нет. Выражение $\pi^{\frac 1 e}$ вполне осмысленное, а вот $\sqrt[e]{\pi}$ — нет.
Это связано с последовательностью определения понятия степени. На каждом из перечисленных ниже шагов нужно доказывать основные свойства степени, включая монотонность по показателю.
1) Степень с натуральным показателем определяется по индукции: $x^1=x$, $x^n=x^{n-1}\cdot x$ при $n>1$.
2) $x^0=1$ (при $x\neq 0$; основано на свойстве степени $x^{m-n}=\frac{x^m}{x^n}$).
3) $x^{-n}=\frac 1{x^n}$ (основано на том же свойстве степени).
Теперь у нас есть определение степени для любого целого показателя.
4) Для $x\geqslant 0$ и натурального $n\geqslant 2$ определяем корень $n$-ой степени $\sqrt[n]{x}$ как неотрицательное число $y$, удовлетворяющее условию $y^n=x$.
При нечётном $n$ обычно доопределяют корень для отрицательных чисел: $\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{-x}$ при $x<0$.
5) Для рационального числа $r=\frac mn$ и $x>0$ определяем степень $x^r=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m$.
6) Произвольное иррациональное число $p$ зажимаем сверху и снизу сходящимися к нему монотонными последовательностями рациональных чисел (знаки которых предполагаем совпадающими со знаком числа $p$) $r_1<r_2<\ldots<p<\ldots<r'_2<r'_1$ и определяем $x^p$ ($x>0$) из условия $x^{r_1}<x^{r_2}<\ldots<x^p<\ldots<x^{r'_2}<x^{r'_1}$ или $x^{r'_1}<x^{r'_2}<\ldots<x^p<\ldots<x^{r_2}<x^{r_1}$ (в зависимости от возрастания-убывания).
Разумеется, здесь очень много технической работы, которой в школе в значительной степени пренебрегали. Но даже и в том виде построение было длинным.