Не забывайте про такую чудную вещь, как интеграл по контуру. Раз уж в действительном случае можно определить для всех

как

то и в комплексном (многозначный) логарифм можно определить как

где

- любой контур, соединяющий точки

и

и не проходящий через

. Непосредственный подсчёт этого интеграла показывает, что

где

- любое действительное число,

к этому моменту уже определено,

,

- любое целое число (зависит от того, как и сколько раз контур

обходит точку

). Обратная функция к таким образом определённой функции

уже будет однозначна и определена для любого

. Вот и назовём эту функцию

. Дальше можно вывести основные свойства:

,

, а потом уже ряд Тейлора и всё остальное. В частности, формула Эйлера получается из

при

.