Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #753492 писал(а):

1,-1,1,-1
-1,1,-1,1
-1,1,-1,1
1,-1,1,-1

1,-1,-1,1
-1,1,1,-1
1,-1,-1,1
-1,1,1,-1

1,1,-1,-1
-1,-1,1,1
1,1,-1,-1
-1,-1,1,1

1,-1,1,-1
1,-1,1,-1
-1,1,-1,1
-1,1,-1,1

1,1,1,1
1,1,1,1
1,1,1,1
1,1,1,1

Базис без комментариев. Непонятно, какого пространства это базис.

Pavlovsky
что мешает увеличить все элементы базисных квадратов, например, на 1.
Я без понятия, останутся ли при этом квадраты базисными, но пандиагональными они точно останутся. К тому же, они уже будут не с нулевой магической константой, а с константой $S=4$. Тогда и квадрат из единиц не нужен. И нулевые элементы в квадртах появятся.
Как уже заметил dimkadimon, вряд ли в квадратах 4-го порядка может быть меньше 8 ненулевых элементов.

[Pavlovsky]

Квадраты базиса легко строятся по общей формуле. Выбираем независимую переменную X. В ячейку этой переменной ставим 1. В ячейки остальных независимых пременных ставим 0. В ячейки зависимых переменных ставим коэффициент при выбранной переменной. Квадрат базиса готов. Аналигчно поступаем со всеми независимыми переменными.

Тогда становится немного понятен смысл всех этих преобразований. Пусть у нас есть пандиагональный квадрат. Естественно он удовлетворяет общей формуле. Выбираем независимую переменную и изменяем ее на некоторую константу. Пересчитываем зависимые переменные, смотрим на новый пандиагональный квадрат.

-- Пт авг 09, 2013 17:00:36 --

Nataly-Mak в сообщении #753505 писал(а):

Тогда и квадрат из единиц не нужен.

В базисе для квадратов порядка 4, должно быть 5 квадратов, если магическая константа не задана!

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #753514 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #753505 писал(а):

Тогда и квадрат из единиц не нужен.

В базисе для квадратов порядка 5, должно быть 5 квадратов, если магическая константа не задана!

Pavlovsky
похоже, вы перегрелись
Где вы видите базис для квадратов порядка 5 в моём сообщении? Я вижу базис для квадратов порядка 4.
А в базисе для квадратов порядка 5 вообще даже и не 5 квадратов должно быть, а больше. Насколько мне известно, общая формула пандиагональных квадратов 5-го порядка содержит 8 независимых переменных при заданной магической константе.

-- Пт авг 09, 2013 16:08:10 --

Цитата:

Квадраты базиса легко строятся по общей формуле. Выбираем независимую переменную X. В ячейку этой переменной ставим 1. В ячейки остальных независимых пременных ставим 0. В ячейки зависимых переменных ставим коэффициент при выбранной переменной. Квадрат базиса готов. Аналигчно поступаем со всеми независимыми переменными.

Ну вот и сочинили, как построить базис. Это было сразу как-то в подсознании понятно.
Я даже и пыталась это сделать по общей формуле пандиагональных квадратов 4-го порядка. Но там меня смутила магическая константа S. Не поняла пока, куда её совать.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #753518 писал(а):

Ну вот и сочинили, как построить базис.

Проблема минимизации ненулевых ячеек остается.

[Nataly-Mak]

Так ничего не сделаете меньше того, что даёт общая формула, это если для базисных квадратов. Сами же писали, что законы алгебры не обманешь.
Минимизировать количество ненулевых элементов можно в одном отдельно взятом (не базисном) пандиагональном квадрате (см. сообщение dimkadimon).

-- Пт авг 09, 2013 16:20:24 --

Pavlovsky в сообщении #753514 писал(а):

В базисе для квадратов порядка 4, должно быть 5 квадратов, если магическая константа не задана!

Ага, исправили
Ну, если считать, что svb привёл базис пространства пандиагональных квадратов 4-го порядка любых (хотя я просила его показать для классических), то да, для таких квадратов при не заданной магической константе должно быть 5 базисных квадратов.

-- Пт авг 09, 2013 16:30:55 --

Не могу придумать, какую комбинацию базисных квадратов svb надо взять, чтобы получить этот пандиагональный квадрат:

1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Кто может показать эту комбинацию?

[svb]

$q = \frac{{17}}{2}b_0 - \frac{1}{2}b_1 - b_2 - 4b_3 - 2b_4 $
$b_0$ - квадрат из единичек

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #753384 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #753381 писал(а):

Базисные элементы в некотором пространстве, как я понимаю, - это такие элементы, из которых с помощью некоторых комбинаций можно получить любой другой элемент данного пространства.

Именно так.
Определим операцию сложения квадратов A+B. Очевидно если A,B пандиагональные, то и сумма будет пандиагональным квадратом. Определим скалярное умножение: b*A, гда b число, A пандиагональный квадрат. Естественно результат тоже будет пандиагональным квадратом.
Тогда любой пандиагональный квадрат можно получить по формуле

$\sum_{i=1}^{n}{b_i*A_i}$, где bi - целое число, Ai - пандиагональный квадрат из базиса, n количество квадратов в базисе.

svb
Я искала целые коэффициенты в соответствии с описанием Pavlovsky.
У вас комбинация с дробными коэффициентами.
И как же вы нашли эту комбинацию по заданному квадрату?
Решили систему из 16 уравнений?

[svb]

Это же ортогональный базис, по формуле:
${\bf x} = \frac{1}{{16}}\sum\limits_i {\left( {{\bf x},{\bf b}_i } \right) \cdot } {\bf b}_i $
$16$- квадрат номы $\left\| {{\bf b}_i } \right\| = 4$
скалярное умножение обыкновенное.

[Nataly-Mak]

Спасибо, но ничего не поняла. Похоже, всё перезабыла из "высокой" науки
Слева x и справа x...

[svb]

В скобках это скалярное умножение двух векторов - сумма покоординатных умножений (16 координат у каждого вектора)

[Nataly-Mak]

Что такое вектор x?
Вектора $b_i$, как я понимаю, это базисные квадраты.

Итак, есть базисные вектора $b_i$, i=0,1,...,4.
Каждый вектор имеет 16 координат, например, $b_0=(1,1,1,...1)$.
Далее, есть вектор $a=(a_1,a_2,a_3,...,a_{16})$. Это заданный пандиагональный квадрат.

Это пока всё, что я поняла.
Как найти коэффициенты в комбинации векторов $b_i$, чтобы получить вектор $a$?

[svb]

x - это ваш квадрат

[Nataly-Mak]

svb
ну, извините, я больше не могу из вас клещами вытаскивать по одной фразе.
Спасибо, не надо уж объяснять. Останусь тёмной

Вот такая формула должна быть:

$a= \sum_{i=0}^{4}{c_i \cdot b_i}$,

где $c_i$ и есть искомые коэффициенты.
Буду думать, как найти эти коэффициенты.

[svb]

Все правильно, я такую формулу и привел, только вместо $c_i$ сразу стояло скалярное произведение, которое и нужно вычислить для нахождения $c_i$.

[Nataly-Mak]

Распишу, может, кому пригодится.

$b_0=(1,1,1,...,1)$
$b_1=(1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1)$
$b_2=(1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1)$
$b_3=(1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1)$
$b_4=(1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1)$
$a=(1,8,11,14,12,13,2,7,6,3,16,9,15,10,5,4)$

Обозначим $S$ сумму всех координат вектора $a$ (магическая константа заданного квадрата). $S=34$. Тогда

$c_0=1/16 \cdot S \cdot 4=17/2$
$c_1=1/16 \cdot (1-8+11-14-12+13-2+7-6+3-16+9+15-10+5-4)=-1/2$

ну и т.д.

Как Pavlovsky, сама себе объясняю

P.S. А базис не нормированный, норма базисных векторов не равна 1. Может быть, поэтому и появляются дробные коэффициенты?
Нормированным базис сделать невозможно?