Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Pavlovsky]

Глянул статью, это то что надо. Особенно интересует раздел "Базис пространства пандиагональных квадратов". Пока сильно не вникал, но сразу возник вопрос. В качестве базиса используются пандиагональные квадраты магическая сумма которых равна 0. А как же тогда набирать из них пандиагональные квадраты с ненулевой магической суммой?

PS Улучшил свое решения для N=13 почти на 150 тысяч. Улучшение, даже на 0,01 балла непотянуло.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #753374 писал(а):

В качестве базиса используются пандиагональные квадраты магическая сумма которых равна 0.

Вот-вот, и я о том же
Видела это ещё при первом просмотре статьи (давненько).

-- Пт авг 09, 2013 07:35:42 --

Pavlovsky в сообщении #753374 писал(а):

PS Улучшил свое решения для N=13 почти на 150 тысяч. Улучшение, даже на 0,01 балла непотянуло.

Да, по сравнению с решениями Jarek теперь трудно набрать даже 0.01 балла.
Но всё равно хорошо, что улучшили.

[Pavlovsky]

Законы линейной алгебры не обманешь. Количество пандиагональных квадратов составляющих базис пространства пандиагональных квадратов должно равняться количеству независимых переменных при выводе общей формулы. Хотелось бы увидеть, в явном виде, скажем для N=7, 25 базисных квадратов. Очень хороший базис это когда квадраты его составляюще имеют минимальное количество ненулевых ячеек.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #753376 писал(а):

Хотелось бы увидеть, в явном виде, скажем для N=7, 25 базисных квадратов. Очень хороший базис это когда квадраты его составляюще имеют минимальное количество ненулевых ячеек.

Для начала дайте, пожалуйста, определение базисного квадрата.

Я, конечно, что-то такое помню, например, о базисном векторе
Базисные элементы в некотором пространстве, как я понимаю, - это такие элементы, из которых с помощью некоторых комбинаций можно получить любой другой элемент данного пространства.
Никак не могу представить себе, к примеру, 4 базисных пандиагональных квадрата 4-го порядка. Какие это квадраты? И как из них получить любой пандиагональный квадрат 4-го порядка?
Вот с общей формулой любого пандиагонального квадрата мне всё понятно.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #753381 писал(а):

Никак не могу представить себе, к примеру, 4 базисных пандиагональных квадрата 4-го порядка.

Почему 4 базисных квадрата? Сколько независмых переменных в общей формуле для квадрата 4-го порядка? Столько нужно и базисных квадратов.

[Nataly-Mak]

В общей формуле для пандиагонального квадрата 4-го порядка 4 независимых переменных при заданной магической константе.
Так покажите эти 4 базисных квадрата!
Я на них посмотрю, тогда, может, и пойму, что такое базисный квадрат. А то вы говорите о базисных квадратах, а определение их не даёте. И пример не показываете.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #753381 писал(а):

Базисные элементы в некотором пространстве, как я понимаю, - это такие элементы, из которых с помощью некоторых комбинаций можно получить любой другой элемент данного пространства.

Именно так.
Определим операцию сложения квадратов A+B. Очевидно если A,B пандиагональные, то и сумма будет пандиагональным квадратом. Определим скалярное умножение: b*A, гда b число, A пандиагональный квадрат. Естественно результат тоже будет пандиагональным квадратом.
Тогда любой пандиагональный квадрат можно получить по формуле

$\sum_{i=1}^{n}{b_i*A_i}$, где bi - целое число, Ai - пандиагональный квадрат из базиса, n количество квадратов в базисе.

-- Пт авг 09, 2013 09:35:34 --

Nataly-Mak в сообщении #753383 писал(а):

И пример не показываете.

Я задал вопрос, а вы требуете что бы я на него сам дал ответ?

[Nataly-Mak]

Так это я понимаю.
Базисные квадраты для N=4 покажете?

Цитата:

Я задал вопрос, а вы требуете что бы я на него сам дал ответ?

Не требую, а прошу
Если вы задали вопрос, надо определить тот предмет, о котором вы спрашиваете. А иначе как можно ответить на ваш вопрос? Покажите мне то, сам не знаю, что...
Вот с определением операций над базисными квадратами уже что-то прояснилось.
Такие операции применяются, например, в методе латинских квадратов: магический квадрат получается из двух ортогональных латинских квадратов.

Я думала, вы знаете хоть один пример базисного квадрата.
В статье svb тоже не вижу примеров базисных квадратов. Есть какие-то базисы, но я в них ничего не могу понять

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #753383 писал(а):

В общей формуле для пандиагонального квадрата 4-го порядка 4 независимых переменных при заданной магической константе.

Значит для порядка 4 должно быть 4 базисных квадрата. Или 5 базисных квадратов, если магическая константа не задана.

[Nataly-Mak]

Значит... Это вы опять себе объясняете?

[Nataly-Mak]

Из каких 4-х базисных пандиагональных квадратов 4-го порядка можно получить, например, такой классический пандиагональный квадрат:

1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Кстати, это один из трёх оригинальных (базовых) пандиагональных классичесикх квадратов 4-го порядка (см. Википедию).

Я знаю, как получить этот пандиагональный квадрат из двух ортогональных латинских квадратов (метод латинских квадратов).
Первый латинский квадрат А:

0 1 2 3
2 3 0 1
1 0 3 2
3 2 1 0

Второй - ортогональный - латинский квадрат В:

0 3 2 1
3 0 1 2
1 2 3 0
2 1 0 3

Тогда показанный пандиагональный квадрат C получается по формуле:

$C=4A+B+1$

P.S. Может, не совсем хорошо написала формулу.
Тогда пусть E - пандиагональный квадрат 4-го порядка, состоящий из единиц.
Формулу так перепишем (более строго):

$C=4A+B+E$

Кстати, с магическими константами тут всё чётко:
магическиая константа квадратов $A$ и $B$ равна 6, магическая константа квадрата $E$ равна 4, магическая константа квадрата $C$ равна $4 \cdot 6+6+4=34$.

-- Пт авг 09, 2013 11:04:16 --

Продолжаю: в классическом пандиагональном квадрате у нас известна магическая константа, значит, она считается заданной: $S=34$.
Далее, в классическом пандиагональном квадрате мы можем зафиксировать один из 4-х свободных элементов и тогда свободных элементов у нас останется всего 3.

Предлагаю три пандиагональных базисных квадрата для пространства классических пандиагональных квадратов 4-го порядка:

0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

0 1 2 3
2 3 0 1
3 2 1 0
1 0 3 2

0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0

Годится такой базис
Ведь любой классический пандиагональный квадрат мы можем получить из двух ортогональных латинских квадратов по приведённой выше формуле.
А различных попарно ортогональных латинских квадрата 4-го порядка всего 3, они как раз и приведены.

[Pavlovsky]

В линейной алгебре есть теорема о замене элемента базиса. То есть базисов можно составить бесконечное количество вариантов. Общее у этих базисов будет одно: количество элемнтов в базисе будет одним и тем же. Ваши квадраты A,B,E вполне годятся как элементы базиса.
Совершенствую свой алгоритм №4, поэтому и завел разговор о базисах. Но у меня есть дополнительные требования к базису: Квадраты входящие в базис должны иметь минимально возможное количество ненулевых ячеек. Это необходимо ввиду:

Jarek в сообщении #753206 писал(а):

2. Number of terms in one group is relatively large. For example, for $N=17$ each group has 17 terms - it is rather hard to force 17 numbers to be prime at the same time.

В вашем примере A,B имеют 8 ненулевых ячеек. В E вообще 16 ненулевых ячеек. Это никуда не годится.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #753402 писал(а):

В вашем примере A,B имеют 8 ненулевых ячеек. В E вообще 16 ненулевых ячеек. Это никуда не годится.

Во-первых, не 8, а аж 12 ненулевых ячеек
А во-вторых, я пока не вижу лучшего базиса от вас.

И в-третьих: квадрат Е к базисным квадратам не относится; это константа, которая служит только для того, чтобы привести построенный пандиагональный квадрат к традиционному виду (без элемента 0). Вообще-то пандиагональный квадрат можно оставить и в таком виде, где есть элемент 0. Тогда квадрат E совсем не нужен.

Так что, всё у меня годится
Ваш базис теперь рассмотрим

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #753403 писал(а):

Ваш базис теперь рассмотрим

У меня складывается впечатление, что вы считаете, что у меня есть ответы на все задаваемые вопросы. И только из вредности я ими не делюсь с обществом.

[Nataly-Mak]

Вы раскритиковали мой базис, и потому я хочу увидеть лучший базис.

А существует ли лучший базис для пространства классических пандиагональных квадратов 4-го порядка
Я этого не знаю и хочу узнать.
Если вы пока ещё не сочинили лучший базис, я готова подождать
К тому же, это может сделать кто-то другой из участников темы.