Гипотеза Шенфлиса

[Keter]

Решена ли гипотеза Шенфлиса о разделении сферы на две связные компоненты сферой меньшей размерности в размерности $4$, когда сферы $S4$ и $S3$ - компакты?
Просто в этом случае она выводится очень просто.

Deggial: замечание за неправильное оформление формул.

[Keter]

Deggial, Прошу прощения, почему-то не печатался значек ^...

Задано кусочно-линейное локально-плоское вложение $f: S^3 \to S^4.$ Мы утверждаем, что $S^4 \setminus Imf$ состоит из двух компонент, замыкание каждого из которых представляет собой кусочно-линейный $4$-мерный шар.
Было ли доказано кем-то раньше, что $3$-мерная сфера не может заузливаться в $4$-мерной, когда $S^3$ и $S^4$ - компакты?

И еще вопрос появился: я прав, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры? Или мне это приснилось, потому что ничего не могу найти по этому вопросу в интернете.

[Keter]

Образ каждой точки в $S^4$ вложения $f$ обладает окрестностью $U$ такой, что пара $\Big( Imf, S^4 \Big)$ гомеоморфна паре $\Big( D^3 \times D^1, D^3 \times \{ 0 \} \Big)$ по определению локально-плоского вложения или это нужно доказывать?

[xmaister]

Keter в сообщении #753667 писал(а):

И еще вопрос появился: я прав, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры? Или мне это приснилось, потому что ничего не могу найти по этому вопросу в интернете.

A разве не только одномерное топологическое многообразие имеет только одну гладкую структуру?

[Keter]

xmaister, как я понял, проблема в размерности... В $\mathbb{R}^4$ не так всё просто... я не могу понять эту тему: где-то точно слышал, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры... Не могу найти в интернете ничего путного. Как доказать? Где прочитать?

Единственное, что нашел: R. Kirby "Problems in low-dimensional topology" 1996, под номером 4.86

[Keter]

xmaister, как вообще определяется сколько гладких структур у гладкого замкнутого многообразия? Их как-то классифицируют?

[alcoholist]

Keter в сообщении #753806 писал(а):

xmaister, как я понял, проблема в размерности... В $\mathbb{R}^4$ не так всё просто... я не могу понять эту тему: где-то точно слышал, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры...

точно известно, что гладкая структура на $\mathbb{R}^n$ единственна кроме случая $n=4$

Keter в сообщении #753814 писал(а):

как вообще определяется сколько гладких структур у гладкого замкнутого многообразия?

у гладкого многообразия гладкая структура одна:) иное дело, что существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные многообразия

[Keter]

alcoholist, что Вы можете сказать по этому поводу:

Keter в сообщении #753667 писал(а):

Задано кусочно-линейное локально-плоское вложение $f: S^3 \to S^4.$ Мы утверждаем, что $S^4 \setminus Imf$ состоит из двух компонент, замыкание каждого из которых представляет собой кусочно-линейный $4$-мерный шар.
Было ли доказано кем-то раньше, что $3$-мерная сфера не может заузливаться в $4$-мерной, когда $S^3$ и $S^4$ - компакты?

Еще интересно,

Keter в сообщении #753667 писал(а):

я прав, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры?

Есть доказательство или статьи/книги на этот вопрос?