2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Гипотеза Шенфлиса
Сообщение09.08.2013, 01:00 
Решена ли гипотеза Шенфлиса о разделении сферы на две связные компоненты сферой меньшей размерности в размерности $4$, когда сферы $S4$ и $S3$ - компакты?
Просто в этом случае она выводится очень просто.

 !  Deggial: замечание за неправильное оформление формул.

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение10.08.2013, 01:31 
Deggial, Прошу прощения, почему-то не печатался значек ^...

Задано кусочно-линейное локально-плоское вложение $f: S^3 \to S^4.$ Мы утверждаем, что $S^4 \setminus Imf$ состоит из двух компонент, замыкание каждого из которых представляет собой кусочно-линейный $4$-мерный шар.
Было ли доказано кем-то раньше, что $3$-мерная сфера не может заузливаться в $4$-мерной, когда $S^3$ и $S^4$ - компакты?

И еще вопрос появился: я прав, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры? Или мне это приснилось, потому что ничего не могу найти по этому вопросу в интернете.

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение11.08.2013, 00:44 
Образ каждой точки в $S^4$ вложения $f$ обладает окрестностью $U$ такой, что пара $\Big( Imf, S^4 \Big)$ гомеоморфна паре $\Big( D^3 \times D^1, D^3 \times \{ 0 \} \Big)$ по определению локально-плоского вложения или это нужно доказывать?

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение11.08.2013, 00:57 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #753667 писал(а):

И еще вопрос появился: я прав, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры? Или мне это приснилось, потому что ничего не могу найти по этому вопросу в интернете.

A разве не только одномерное топологическое многообразие имеет только одну гладкую структуру?

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение11.08.2013, 01:40 
xmaister, как я понял, проблема в размерности... В $\mathbb{R}^4$ не так всё просто... я не могу понять эту тему: где-то точно слышал, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры... Не могу найти в интернете ничего путного. Как доказать? Где прочитать?

Единственное, что нашел: R. Kirby "Problems in low-dimensional topology" 1996, под номером 4.86

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение11.08.2013, 05:42 
xmaister, как вообще определяется сколько гладких структур у гладкого замкнутого многообразия? Их как-то классифицируют?

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение18.08.2013, 14:51 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #753806 писал(а):
xmaister, как я понял, проблема в размерности... В $\mathbb{R}^4$ не так всё просто... я не могу понять эту тему: где-то точно слышал, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры...

точно известно, что гладкая структура на $\mathbb{R}^n$ единственна кроме случая $n=4$

Keter в сообщении #753814 писал(а):
как вообще определяется сколько гладких структур у гладкого замкнутого многообразия?

у гладкого многообразия гладкая структура одна:) иное дело, что существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные многообразия

 
 
 
 Re: Гипотеза Шенфлиса
Сообщение19.08.2013, 22:34 
alcoholist, что Вы можете сказать по этому поводу:
Keter в сообщении #753667 писал(а):
Задано кусочно-линейное локально-плоское вложение $f: S^3 \to S^4.$ Мы утверждаем, что $S^4 \setminus Imf$ состоит из двух компонент, замыкание каждого из которых представляет собой кусочно-линейный $4$-мерный шар.
Было ли доказано кем-то раньше, что $3$-мерная сфера не может заузливаться в $4$-мерной, когда $S^3$ и $S^4$ - компакты?

Еще интересно,
Keter в сообщении #753667 писал(а):
я прав, что все гладкие замкнутые $4$-многообразия имеют более одной гладкой структуры?

Есть доказательство или статьи/книги на этот вопрос?

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group