Гельфанд. n-1 пространство.

[Barabashka]

Често не понял ваши примеры.

Если рассматривать $a_1, a_2,...,a_n$ как коэффициенты, а $\xi_1, \xi_2,...,\xi_n$ как неизвествные, то любую неизвестную можно выразить через сумму с коэффициентами остальных $n-1$ неизвестных.

Короче в качестве базисов

$e'_1 = e_1 - (a_1/a_k) e_k$
$e'_2 = e_2 - (a_2/a_k) e_k$

$e'_k$ пропускаем потому, что может быть выражен через остальные базисы (наверно немного некорректно выразился)

$e_n' = e_n - (a_n/a_k) e_k$

таким образом любой вектор удовлетворяющий условию может быть выражен $\xi_1e'_1 + \xi_2e'_2 +...+\xi_ne'_n$ не нужен $e'_k$ и $\xi_k$ тоже не нужен. Выбираем те коэффициенты, которые не равны 0.

Верно же?

[Otta]

Вы усложняете себе жизнь. Хотите указать базис - сделайте это явно. Мол, вектора с такими-то координатами. В данном случае это проще всего. Ну и доказывайте потом, что это базис.

Ваши вектора в качестве базисных не годятся, потому что далеко не при каждом наборе коэффициентов они будут лежать в подпространстве.

[bayak]

В качестве базисных векторов берите произвольные линейно независимые пары ненулевых координат, которые удовлетворяют вашему уравнению, например последовательные пары: первая и вторая, вторая и третья и так далее. Вот и получите $n-1$ пар.

[Barabashka]

Координату $\xi_k$ можно выразить через другие координаты с коэффициентами.

$a_1\xi_1+a_2\xi_2+...+\a_n\xi_n = 0$
$\xi_k = -(a_1/a_k)\xi_1-(a_2/a_k)\xi_2-...-(a_n/a_k)\xi_n$

в базисах на $k$-том месте

$e'_1 = (1,0,0,\cdots,-(a_1/a_k),\cdots,0)$
$e'_2 = (0,1,0,\cdots,-(a_2/a_k),\cdots,0)$
$e'_k$ - нет
$e'_n = (0,0,0,\cdots,-(a_n/a_k),\cdots,1)$

они линейно независимы так как например у $e'_1$ стоит единиц у остальных нули, т.е. никак получить $e'_1$ нельзя выразить через сумму других.

$\xi_1e'_1 = (\xi_1,0,0,\cdots,-(a_1/a_k)\xi_1,\cdots,0)$
$\xi_2e'_2 = (0,\xi_2,0,\cdots,-(a_2/a_k)\xi_2,\cdots,0)$
$e'_k$ - нет
$\xi_ne'_n = (0,0,0,\cdots,-(a_n/a_k)\xi_n,\cdots,\xi_n)$


$\xi_1e'_1+\xi_2e'_2+\cdots+\xi_ne'_n=$
$(\xi_1,0,0,\cdots,-(a_1/a_k)\xi_1,\cdots,0)+(0,\xi_2,0,\cdots,-(a_2/a_k)\xi_2,\cdots,0)+\cdots+(0,0,0,\cdots,-(a_n/a_k)\xi_n)=$
$(\xi_1,\xi_2,\cdots,-(a_1/a_k)\xi_1-(a_2/a_k)\xi_2-\cdots-(a_n/a_k)\xi_n,\cdots,\xi_n)=$
$(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_k,\cdots,\xi_n)$

[Someone]

Barabashka в сообщении #753053 писал(а):

Координату $\xi_k$ можно выразить через другие координаты с коэффициентами.

Малюсенькое уточнение: только ту, для которой $a_k\neq 0$.
А если такой не найдётся?

[Barabashka]

в условии сказано, что не все равны нулю.

[Otta]

Просто стоило с этого и начать. Пусть $k$ - такое, что $a_k\ne 0$.

В целом неплохо, хотя я бы линейную независимость доказывала по определению. Разумеется, она очевидна, но на то и задача студенческая.

[Dan B-Yallay]

Скалярное произведение еще не проходили?

[Otta]

Dan B-Yallay

(Оффтоп)

А почему именно скалярное произведение, а не связь размерности ядра и образа? :)
Понятно, способов много, но судя по скорости продвижения самого заурядного способа решения, его стоило отработать. Ну, как мне кажется.

[Dan B-Yallay]

(Otta)

Иногда бывает, что спотыкаешься на элементарных вещах, если успел забыть. А немного более сложное, но недавно пройденное - "пробивает". Вдруг здесь именно такой случай?