Определение поля в Википедии

[Tookser]

В Википедии в определении поля не упоминается об аксиоме $1 \ne 0$ или ей подобной. Вопрос: стоит ли это исправлять, и если да, то в каких случаях эта аксиома важна?

[mihailm]

Вы вопросительные знаки неправильно расшифровали, все там есть.

[Tookser]

Вот правильная ссылка. В статье "Поле (алгебра)" и статьях "Тело (алгебра)", "Кольцо (алгебра)" ничего не говорится про эту аксиому, увы.

[venco]

А разве не доказывается в одну строчку, что если $0=1$, то больше у этого поля нет элементов.

[Xaositect]

Кольца рассматривают иногда с этой аксиомой, иногда без нее. Для тел и полей утверждение $0\neq 1$ выводится из приведенного в википедии определения.

[Tookser]

venco, да, доказывается. Правда, я не смог найти там упоминания о том, что должно быть не меньше двух элементов, или чего-то эквивалентного.
Xaositect, подскажите, пожалуйста, как выводится, или укажите, что я пропустил. По определению Википедии поле - это группа по сложению, все ненулевые элементы - группа по умножению, и дистрибутивность (там примерно так написано)?

[Xaositect]

Tookser в сообщении #752756 писал(а):

Xaositect, подскажите, пожалуйста, как выводится, или укажите, что я пропустил. По определению Википедии поле - это группа по сложению, все ненулевые элементы - группа по умножению, и дистрибутивность (там примерно так написано)?

Ненулевые элементы образуют группу по умножению. В группе существует нейтральный элемент, этот элемент и есть единица. Значит, единица - это ненулевой элемент.

[Munin]

Tookser в сообщении #752756 писал(а):

Правда, я не смог найти там упоминания о том, что должно быть не меньше двух элементов, или чего-то эквивалентного.

Никто не мешает рассматривать алгебраические структуры из одного элемента (и даже вообще без элементов, иногда), просто они скучны: все операции имеют заранее предсказуемый результат.

[apriv]

venco в сообщении #752735 писал(а):

А разве не доказывается в одну строчку, что если $0=1$, то больше у этого поля нет элементов.

Доказывается, конечно, только это не поле, а кольцо (ассоциативное, коммутативное, с единицей, не область целостности...). В категории коммутативных колец было бы очень сложно жить без такого кольца.

[Munin]

А, точно, в категориях без них никак!

А в категории полей играет что-то роль такого "нулевого элемента"?

[lena7]

В категории полей нет инициального и терминального объекта, а значит и нулевого.

[apriv]

Категория полей моментально распадается на счетное количество категорий, в каждой свой инициальный объект.

[Munin]

lena7
Да, спасибо.

apriv
Но это же бесполезно, я так понимаю?

[apriv]

Munin в сообщении #753181 писал(а):

Но это же бесполезно, я так понимаю?

Что бесполезно? Категория полей очень полезна. Инициальные объекты тоже полезны.

[Munin]

Бесполезно распушать категорию полей, потому что в получившихся подкатегориях будет скучно с их инициальными объектами.