О действительных числах

[Munuvonaza]

Добрый вечер, уважаемые эксперты в области аксиоматической теории множеств! Интересует разрешение нескольких возникших вопросов, которые согласно современные представлениям математиков предъявляют ложные посылы, однако конкретных аксиом ZFC, которые при этом используются неправильно, не удалось найти

Вопрос 1 (Прямой) - О задании действительного числа
Действительное число может быть записано в общем случае, в виде бесконечной непереодической десятичной дроби, при этом верным является любая комбинация десятичных цифр после запятой, за исключением последовательности, в которой начиная с $i+1$-ой позиции следует исключительно одни цифры $9$ - она должна быть записана в форме, в которой цифра на $i$-ой позиции увеличена на единицу, а с $i+1$-ой заполнена нулями
В соответствии с таким представлением действительного числа, можно ввести следующую операцию: пусть $0<x<1$-действительное число, а $x_i$ - цифра в десятичной записи в $i$-ой позиции; тогда пусть $S(x)$ представляет собой число, в котором все цифры в десятчной записи вплоть до ${\omega}$-ой позиции совпадают, а на ${\omega}$-ой позиции цифра заменяется по следующему правилу: если $x_{\omega}=0$, то $S(x)_{\omega}=1$, если $x_{\omega}=1$, то $S(x)_{\omega}=2$ и так далее
В случае если $x_\omega=9$, то $S(x)_{\omega}=0$, и аналогичная операция выполняется для $x_{\omega-1}$-ой позиции
Теперь пусть $x=0$, применим к нему операцию $S(x)$ и получим новое число, и будем далее выполнять такую же операцию с вновь полученным числом; в таком случае каждое из последующих чисел было получено, в конечном итоге, за счет применения операции $S(x)$ к числу $0$ в количестве $N$ раз
Исходя из предложенной операции, можно сформровать класс эквивалентности между натуральными числами, обозначиющими количество последовательно примененной операции $S(x)$, и получаемыми бесконечными десятичными дробями, соответствующие действительным числам
Вопрос - какие из аксиом ZFC были нарушены, или же применены неправильно, при рассмотренном построении?

Вопрос 2 (Обратный) - О списке действительных чисел
Существует известная теорема, доказывающая невозможность построения биекции между множеством действитльных чисел, в качесве бесконечных десятичных дробей, обладающих свойством из Вопроса 1 относительно заключительных цифр $9$ в описании, и множеством натуральных чисел
Указанная теорема строится на основании предположения, что возможно составить список действительных чисел, в которых каждое из них расположено в своей строке и имеет натуральный номер, что бы означало потенцальную биекцию
Вопрос - какие из аксиом ZFC позволяют обращаться к некоторым строкам из списка, если они не могут иметь натуральных индексов?
Здесь можно предпололжть, что речь идет об аксиоме выбора, которая позволяет магическим образом выбрать элемент из бесконечного множества, не имея какого-то описания, как это возможно осуществить
То есть в формальном процессе из указанной теоремы, в отличие от противоречивого интуитивного описания, никакого списка не сущестует: из множества действительных чисел с помощью аксиомы выбора, последовательно производится выбор одного элемента, не равного ни одному из предыдущих выбранных, и этот процесс производится счетное число раз
Вопрос - можно ли сказать, что аксиома выбора постулирует существование random-функции для элементов множеств, позволяя выбирать элементы, не имея ни одного конструктивного критерия, чтобы сделать это

Просьба отвечать исключительно по существу, касательно рассматриваемой аксиоматики; В общем случае всегда можно взять за основу такую собственную аксиоматику, в которой ссылающиеся гипотезы будут верны или не верны

[Xaositect]

1. Тут дело не в аксиомах, а в определениях. Бесконечная дробь - это последовательность цифр, а последовательность элементов множества $A$ --- это функция из $\omega\to A$. То есть $\omega$-ой позиции в последовательности не бывает, т.к. $\omega\notin \omega$. Это еще не считая того, что вычитание ординалов не определено.

Второй вопрос не понял. Если предположить, что список существует, то все строки имеют натуральные индексы. Потом исходя из этого мы приходим к противоречию.

[venco]

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

Вопрос 1 (Прямой) - О задании действительного числа
Действительное число может быть записано в общем случае, в виде бесконечной непереодической десятичной дроби

Почему обязательно непериодической?

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

В соответствии с таким представлением действительного числа, можно ввести следующую операцию:
...
Исходя из предложенной операции, можно сформровать класс эквивалентности между натуральными числами, обозначиющими количество последовательно примененной операции $S(x)$, и получаемыми бесконечными десятичными дробями, соответствующие действительным числам

Ваша операция позволяет получить только некоторое подмножество действительных чисел вида $k\over{10^{\omega}}$. Где $k$ натуральное.

[Someone]

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

Просьба отвечать исключительно по существу, касательно рассматриваемой аксиоматики

Какую "рассматриваемую аксиоматику"? Вы можете её сформулировать?

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

Вопрос - какие из аксиом ZFC позволяют обращаться к некоторым строкам из списка, если они не могут иметь натуральных индексов?

Для выбора "некоторых строк из списка" никакие аксиомы не нужны.

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

Здесь можно предпололжть, что речь идет об аксиоме выбора, которая позволяет магическим образом выбрать элемент из бесконечного множества, не имея какого-то описания, как это возможно осуществить

Аксиома выбора не применяется для выбора элемента из какого угодно непустого множества. Вы её формулировку знаете?

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

вплоть до ${\omega}$-ой позиции

Что такое $\omega$?

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

в таком случае каждое из последующих чисел было получено, в конечном итоге, за счет применения операции $S(x)$ к числу $0$ в количестве $N$ раз

Что такое $N$?

Munuvonaza в сообщении #752330 писал(а):

в формальном процессе из указанной теоремы

Из какой теоремы? Точно сформулируйте её.

Когда ответы на сформулированные вопросы появятся, тогда можно будет продолжить обсуждение, а пока ничего не понятно.

[Munuvonaza]

Xaositect в сообщении #752331 писал(а):

1. Тут дело не в аксиомах, а в определениях. Бесконечная дробь - это последовательность цифр, а последовательность элементов множества $A$ --- это функция из $\omega\to A$. То есть $\omega$-ой позиции в последовательности не бывает, т.к. $\omega\notin \omega$. Это еще не считая того, что вычитание ординалов не определено.

Конкретно Вы правы, однако ведь можно применить и несколько модифицированную схему нумерации элементов множества, например не обычным порядковым числом $\omega$, а элементом $\omega+1$, который уже будет иметь возможность $\omega$-ой позиции при нумерации? Или так тоже недопустимо?

Xaositect в сообщении #752331 писал(а):

Второй вопрос не понял. Если предположить, что список существует, то все строки имеют натуральные индексы. Потом исходя из этого мы приходим к противоречию.

Ясно что существует формальное описание рассматриваемой теоремы, которое верно в ZFC-аксиоматике; сомнение вызывает известное наглядно-интуитивное доказательство, ссылающееся на список действительных чисел
Там если не считать неработоспособность в двоичной системе счисления, возникает сложность аж с двумя моментами; Во-первых если означенный список действительных чисел имеется, и каждому элементу сопоставлено натуральное число, то получившееся в результате противоречие говорит о неверности исходного посыла - то есть фактчески о том, что список был составлен неправильно
Во-вторых во многих наглядных объяснения теоремы показывается таблица цифр, столбцы которой соответствуют разрядам в бесконечных десятичных дробях действительных чисел, расположенных в ее строках; однако про упорядочивание строк нет ни слова - если искомое число, отличающееся от всех остальных с $0$-го по $\omega$-ый разряд, не найдено в списке до $\omega$-ой позиции, то что мешает ему быть расположенным в $\omega+\omega$-ой или $\omega \cdot \omega$ позиции?
Ясно что на самом дел его там нет, однако предлагамый наглядный метод со списком никак не демонстрирует это! Разве нет?

-- 06.08.2013, 01:04 --

venco в сообщении #752336 писал(а):

Почему обязательно непериодической?

Конечно не обязательно, совершенно верное хорошее замечание, дробь должна быть разве что десятичной и в общем случае бесконечной

venco в сообщении #752336 писал(а):

Ваша операция позволяет получить только некоторое подмножество действительных чисел вида $k\over{10^{\omega}}$. Где $k$ натуральное.

Окей то есть в предложенном процессе, получится пронумеровать только те действительные числа, в которых фактически справа от десятичной запятой, будет располагаться бесконечное колчество нулей... Верно?
А что произойдет, если процесс сопоставления с натуральными числами продолжить за бесконечность, и для каждой $i$-ой итерации продолжать выполнять сопоставление с $\omega$-ой позицией, $\omega+1$-ой позицией и так далее; Удастся ли добиться увеличение подмножества действительных чисел, для которых осуществлена нумерация? Не произойдет ли нумерация всего множества действительных чисел, если продолжить процесс до сопоставления с ${\omega}^{\omega}^{...}^{\omega}^{\omega}$-ого порядкового номера?

Указанные предположения берут начало от того факта, что при выполнении наглядного доказательства исходной теоремы, используются порядковые индексы выбираемых элементов

[venco]

Munuvonaza в сообщении #752358 писал(а):

А что произойдет, если процесс сопоставления с натуральными числами продолжить за бесконечность, и для каждой $i$-ой итерации продолжать выполнять сопоставление с $\omega$-ой позицией, $\omega+1$-ой позицией и так далее; Удастся ли добиться увеличение подмножества действительных чисел, для которых осуществлена нумерация?

Удастся, но всё равно до всех действительных чисел будет далеко.

Munuvonaza в сообщении #752358 писал(а):

Не произойдет ли нумерация всего множества действительных чисел, если продолжить процесс до сопоставления с ${\omega}^{\omega}^{...}^{\omega}^{\omega}$-ого порядкового номера?

Что это за номер? Я не знаю операции ${...}$

Подумайте над таким простым вопросом. Вы хотите перечислить все действительные числа, используя операцию, подобную $S()$. Т.е. у каждого числа должен получиться натуральный (конечный) номер. Какой номер будет у числа $1\over 3$. Просто напишите это натуральное число.

[Munuvonaza]

Someone в сообщении #752347 писал(а):

Для выбора "некоторых строк из списка" никакие аксиомы не нужны.

Не требуется ли ряд аксиом, которые постулируют возможность существования подобного списка, и конструктивного определения его элементов, их порядка и схемы выбора требуемого элемента из списка?

Someone в сообщении #752347 писал(а):

Аксиома выбора не применяется для выбора элемента из какого угодно непустого множества. Вы её формулировку знаете?

Есть множество формулировок аксиомы выбора, однако видимо общая суть сводится к постулирования существования множества делегатов, то есть элементов, полученных из семейства попарно непересекающихся множество; В этом случае для каждого непустого множества из семейства осуществляется совершенно случайный выбор элемента, который становится делегатом... Разве не как-то так?

Someone в сообщении #752347 писал(а):

Что такое $\omega$?

Первое трансфинитное порядковое число; в рассматриваемом случае предполагается, что действительное число представляется в виде *упорядоченной* последовательности десятичных цифр, каждая из которых имеет свой порядковый номер, в том числе и $\omega$-ый порядковый номер

Someone в сообщении #752347 писал(а):

Что такое $N$?

Действительно описание предлагаемой процедуры получилось не очень формальным: под $N$ подразумевается описание некоторого очередного шага с номером $N$ в итерационном процессе, который выполнятся бесконечно

Someone в сообщении #752347 писал(а):

Какую "рассматриваемую аксиоматику"? Вы можете её сформулировать?

ZFC в популярно-иллюстративном изложении, ведь описание оригинальной теормы проводтся в словесном
описании и некоторыми неформальными элементами, а не вовсе $\forall - \exists$-терминах

Someone в сообщении #752347 писал(а):

Из какой теоремы? Точно сформулируйте её.
Когда ответы на сформулированные вопросы появятся, тогда можно будет продолжить обсуждение, а пока ничего не понятно.

Действительно оригинальная теорема Кантора говорт о невозможности взаимно-однозначного сопоставления между множеством натуральных чисел, и бесконечными последовательностями цифр, которые отличаются от действительных чисел
Эта оговорка была сделана в формулировке Вопроса 1, и никак не влияет на процесс нумерации действительных чисел, поскольку производится факторизация по фундаментальным последовательностям... Это ведь как-то так называется, верно?

[Xaositect]

Munuvonaza в сообщении #752358 писал(а):

Конкретно Вы правы, однако ведь можно применить и несколько модифицированную схему нумерации элементов множества, например не обычным порядковым числом $\omega$, а элементом $\omega+1$, который уже будет иметь возможность $\omega$-ой позиции при нумерации? Или так тоже недопустимо?

Ну в этом случае на втором шаге все равно потребуется $\omega - 1$, поэтому пока Вы эту штуку не определите, обо всей конструкции говорить бессмысленно.

-- Вт авг 06, 2013 01:24:54 --

Я думаю, venco в своем первом посте думал, что $\omega$ у Вас - некоторое натуральное число.

-- Вт авг 06, 2013 01:28:20 --

Munuvonaza в сообщении #752358 писал(а):

Там если не считать неработоспособность в двоичной системе счисления, возникает сложность аж с двумя моментами; Во-первых если означенный список действительных чисел имеется, и каждому элементу сопоставлено натуральное число, то получившееся в результате противоречие говорит о неверности исходного посыла - то есть фактчески о том, что список был составлен неправильно

Так ведь нам и надо доказать, что такого списка не существует.

Munuvonaza в сообщении #752358 писал(а):

Во-вторых во многих наглядных объяснения теоремы показывается таблица цифр, столбцы которой соответствуют разрядам в бесконечных десятичных дробях действительных чисел, расположенных в ее строках; однако про упорядочивание строк нет ни слова - если искомое число, отличающееся от всех остальных с $0$-го по $\omega$-ый разряд, не найдено в списке до $\omega$-ой позиции, то что мешает ему быть расположенным в $\omega+\omega$-ой или $\omega \cdot \omega$ позиции?

Потому что там считается, что список представляет биекцию $\omega \to \mathbb{R}$.

-- Вт авг 06, 2013 01:40:12 --

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

Не требуется ли ряд аксиом, которые постулируют возможность существования подобного списка, и конструктивного определения его элементов, их порядка и схемы выбора требуемого элемента из списка?

Такие аксиомы есть (если определить список элементов $A$ как функцию $\omega\to A$).

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

Есть множество формулировок аксиомы выбора, однако видимо общая суть сводится к постулирования существования множества делегатов, то есть элементов, полученных из семейства попарно непересекающихся множество; В этом случае для каждого непустого множества из семейства осуществляется совершенно случайный выбор элемента, который становится делегатом... Разве не как-то так?

Случайность тут ни при чем и попарная непересекаемость совершенно не обязательна. И аксиома выбора для диагонального метода не нужна.

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

ZFC в популярно-иллюстративном изложении, ведь описание оригинальной теормы проводтся в словесном
описании и некоторыми неформальными элементами, а не вовсе $\forall - \exists$-терминах

Как только Вы лезете разбираться в мелочах - приходится переходить к более формальному рассмотрению. Ну или хотя бы дайте ссылку на конкретное изложение канторовского доказательства, чтобы мы обсуждали доказательство, а не идею.

[Munuvonaza]

venco в сообщении #752362 писал(а):

Удастся, но всё равно до всех действительных чисел будет далеко.
Что это за номер? Я не знаю операции ${...}$

Окей изначально предполагалось, что если выполнять процесс сопоставления не до $\omega$-ого, а до $\omega+1+1+...+1$ порядкового числа, то количество действительных чисел, для которых установлено соответствующее натуральное число или трансфинитный ординал, будет увеличиваться; Таким образом операция $...$ означает продолжение трансфинитной индукции

venco в сообщении #752362 писал(а):

Подумайте над таким простым вопросом. Вы хотите перечислить все действительные числа, используя операцию, подобную $S()$. Т.е. у каждого числа должен получиться натуральный (конечный) номер. Какой номер будет у числа $1\over 3$. Просто напишите это натуральное число.

Действительно хороший вопрос, показывающих что обычного натурального числа с $i$-ым номером будет недостаточно, поскольку сопоставлением к числу $1/3$ видимо будет какое-то трансфинитное порядковое число, имеющее номер вроде $\omega+1+1+...+1$


Исходя из продолжения размышления по предполагаемой тематике, возникают дополнительные вопросы

Вопрос 3 - О рациональности числа
Если предполагаемая операция $S(x)$ из Вопроса 1 была осуществлена несколько раз последовательно, было получено некоторое новое действительное число, причем конструктивным образом, так что значение всех составляющих его разрядов, то есть последовательность десятичных цифр в записи бесконечной дроби, является извесной для всех позиций с $0$-ой до $\omega$-ой включительно
Вопрос - как определить рациональность или иррациональность действительного числа, полученного конструктивным образом по операции $S(x)$

Вопрос 4 - О трансфинитной индукции
Обычная математическая индукция, основывающаяся на натуральных числах, заканчивается на подходе к $\omega$-ой итерации, после чего заканчивается, или при заданных условиях может быть обобщена до трансфинитной индукции
В популярном энциклопедческом описании аксиомы выбора сказано, что она позволяет избежать бесконечного процесса, связанного с выбором делегирующего элемента из семейства множеств, который требует бесконечного числа действий и является неконструктивным; Тем не менее в некоторых других ситуациях, в которых фигурируют бесконечные множества, такие бесконечные процессы допускаются как конструктивные
Вопрос - как правильно работать с трансфинитным и бесконечным процессом в формальных доказательствах?

[Xaositect]

Munuvonaza в сообщении #752370 писал(а):

Если предполагаемая операция $S(x)$ из Вопроса 1 была осуществлена несколько раз последовательно, было получено некоторое новое действительное число, причем конструктивным образом, так что значение всех составляющих его разрядов, то есть последовательность десятичных цифр в записи бесконечной дроби, является извесной для всех позиций с $0$-ой до $\omega$-ой включительно

Определите наконец операцию $S$, в текущем определении присутствует бессмысленное выражение $\omega - 1$.

-- Вт авг 06, 2013 01:56:28 --

Munuvonaza в сообщении #752370 писал(а):

В популярном энциклопедческом описании аксиомы выбора сказано, что она позволяет избежать бесконечного процесса, связанного с выбором делегирующего элемента из семейства множеств, который требует бесконечного числа действий и является неконструктивным; Тем не менее в некоторых других ситуациях, в которых фигурируют бесконечные множества, такие бесконечные процессы допускаются как конструктивные

Так в популярном или энциклопедическом? Это совершенно разные вещи, и использовать энциклопедии для обучения чему-то обычно вредно. Кроме того, как-то это изложение не похоже на математическую энциклопедию.

Цитата:

Вопрос - как правильно работать с трансфинитным и бесконечным процессом в формальных доказательствах?

Почитайте нормальный учебник по этой теме. Для начала можно брошюрку Верещагина-Шеня "Начала теории множеств", скачать можно тут: http://www.mccme.ru/free-books/

[Munuvonaza]

Xaositect в сообщении #752364 писал(а):

Ну в этом случае на втором шаге все равно потребуется $\omega - 1$, поэтому пока Вы эту штуку не определите, обо всей конструкции говорить бессмысленно.
Я думаю, venco в своем первом посте думал, что $\omega$ у Вас - некоторое натуральное число.

Совершенно верно, но для каждого порядкового числа существует некоторое, являющееся предшествующим к нему; Если рассмотреть это к произвольному порядковому числу $X$, то $X-1$ можно определить или как такой $Y$, для которого $Y+1=X$, или же просто как максимальный элемент множества $X$, то есть тот, который был получен с использованием максимального числа операции объединения множеств, из всех составляющих его элементов... Или здесь тоже есть неразрешенные с точки зрения аксиоматики действия?

Xaositect в сообщении #752364 писал(а):

Так ведь нам и надо доказать, что такого списка не существует. /=/
Потому что там считается, что список представляет биекцию $\omega \to \mathbb{R}$. /=/
Случайность тут ни при чем и попарная непересекаемость совершенно не обязательна. И аксиома выбора для диагонального метода не нужна.

В том и дело, что хотя результат канторовского процесса является очевидным, особенно в случае использования в качестве оригинальной посылки необходимость построеня взаимно-однозначного соответствия $\omega \to \mathbb{R}$ , и возникающее в процессе доказательства противоречие, но метод со списком является неочевидным
Конкретные вопросы по составлению списка: во-первых он включает бесконечное число элементов, и для каждого из них не очевиден критерий выбора, к тому же процесс построения списка будет выполнять бесконечного долго; Каковы вообще критерии, означающие что список построен, и можно начинать диагональный процесс? Во-вторых, каким образом упорядочены элементы списка, и вообще в какой момент происходит присваивание им неких номеров?

В более формальном виде доказательство канторовской теоремы очевидно: из всего множества действительных чисел, случайным образом выбираются неповторяющиеся элементы, и каждому из них выполняется сопоставления с натуральным числом, вплоть до $\omega$-ого порядкового числа; В этот момент неизвестно, оказались ли пронумерованными все действительные числа, но нахождение диагонального числа показывает, что в на самом деле оно не было включено в список, и имеется $\omega+1$-ый порядковый номер, что противоречит оригинальному посылу

В случае же с доказательствами, в которых список выбранных действительных чисел изначально постулируется, совершенно неясно, откуда и в каком порядке они взялись, каков вообще был критерий для их помещения в него, и каким образом оказалось, что полученная таблица цифр и по вертикали, и по горизонтали заканчивается в $\omega$-ой позиции
Вопрос 1 - Как можно выбирать бесконечное число элементов из бесконечного множества, делая это неконструктивно, и ссылаясь впоследствии на результаты выбора
Вопрос 2 - Если отказаться от аксиомы выбора, что произойдет с формальным кантороским процессом?

[Xaositect]

Munuvonaza в сообщении #752372 писал(а):

Совершенно верно, но для каждого порядкового числа существует некоторое, являющееся предшествующим к нему; Если рассмотреть это к произвольному порядковому числу $X$, то $X-1$ можно определить или как такой $Y$, для которого $Y+1=X$, или же просто как максимальный элемент множества $X$, то есть тот, который был получен с использованием максимального числа операции объединения множеств, из всех составляющих его элементов... Или здесь тоже есть неразрешенные с точки зрения аксиоматики действия?

Неразрешенных действий тут нет, но этот объект просто может не существовать. Вот в $\omega$ нет максимального элемента, как и в любом предельном ординале, так же не существует и ординала $y$ такого, что $y + 1 = \omega$, потому что для натурального числа $y$ оринал $y + 1$ тоже будет натуральным, а для трансфинитного $y + 1 > \omega$.

-- Вт авг 06, 2013 02:18:59 --

Munuvonaza в сообщении #752372 писал(а):

В более формальном виде доказательство канторовской теоремы очевидно: из всего множества действительных чисел, случайным образом выбираются неповторяющиеся элементы, и каждому из них выполняется сопоставления с натуральным числом, вплоть до $\omega$-ого порядкового числа; В этот момент неизвестно, оказались ли пронумерованными все действительные числа, но нахождение диагонального числа показывает, что в на самом деле оно не было включено в список, и имеется $\omega+1$-ый порядковый номер, что противоречит оригинальному посылу

Это совершенно неправильное изложение доказательства. "Список" - это функция $\omega\to R$, где $R$ - множество бесконечных последовательностей цифр. Поэтом ни $\omega$-го, ни $\omega + 1$-го номера там нет и быть не может.

[Munuvonaza]

Xaositect в сообщении #752371 писал(а):

Так в популярном или энциклопедическом? Это совершенно разные вещи, и использовать энциклопедии для обучения чему-то обычно вредно. Кроме того, как-то это изложение не похоже на математическую энциклопедию.

Имеется в виде Википедия, в которой вдобавок к формальным математическим определениям, в статьях содержатся интуитивно-понятные и популярные трактовки к теоремам и определениям
Тем не менее в статье про Аксиому выбора указана следующая мысль: "Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как $X$ бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего $X$", которая видимо свидетельствует о невозможности выполнения неконструктивного выбора из бесконечных множеств, в случае отсутствия принятия аксиомы выбора

Xaositect в сообщении #752371 писал(а):

Определите наконец операцию $S$, в текущем определении присутствует бессмысленное выражение $\omega - 1$.

Можно ли определить $\omega - 1$ как наибольший из порядковых чисел, включенных как элементы в множество $\omega$, соответствующих следующему ординалу?

[Xaositect]

По поводу аксиомы выбора: ZF и без аксиомы выбора к конструктивности имеет мало отношения. Если в ZF можно доказать, что некоторое множество не равно $\varnothing$, то всегда можно рассмотреть его произвольный элемент. То есть если мы определим бесконечную последовательность цифр как функцию из $\omega\to \{0,1\}$, а последовательность таких последовательностей как функцию из $\omega \to (\omega \to \{0, 1\})$, и докажем, что множество таких функций непусто (это можно доказать в ZF), то мы с чистой совестью можем взять и рассуждать о произвольной последовательности последоваетльностей цифр.

-- Вт авг 06, 2013 02:24:21 --

Munuvonaza в сообщении #752375 писал(а):

Можно ли определить $\omega - 1$ как наибольший из порядковых чисел, включенных как элементы в множество $\omega$, соответствующих следующему ординалу?

Там нет наибольшего.

-- Вт авг 06, 2013 02:29:06 --

Munuvonaza в сообщении #752375 писал(а):

Имеется в виде Википедия, в которой вдобавок к формальным математическим определениям, в статьях содержатся интуитивно-понятные и популярные трактовки к теоремам и определениям

Не читайте википедию для того, чтобы изучать новые для себя вещи. Она для этого не предназначена и не годится.

Munuvonaza в сообщении #752375 писал(а):

Тем не менее в статье про Аксиому выбора указана следующая мысль: "Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как $X$ бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего $X$", которая видимо свидетельствует о невозможности выполнения неконструктивного выбора из бесконечных множеств, в случае отсутствия принятия аксиомы выбора

Так, как это сформулировано, это не имеет никакого отношения к ZFC. Понятие "функции" в ZFC не подразумевает осуществления каких бы то ни было "процедур" и их конечности.

[Munuvonaza]

Xaositect в сообщении #752373 писал(а):

Неразрешенных действий тут нет, но этот объект просто может не существовать. Вот в $\omega$ нет максимального элемента, как и в любом предельном ординале, так же не существует и ординала $y$ такого, что $y + 1 = \omega$, потому что для натурального числа $y$ оринал $y + 1$ тоже будет натуральным, а для трансфинитного $y + 1 > \omega$.

Окей здесь ситуация начинает проясняться, поскольку видимо в оригинальной идее с функцией $S(x)$ совершается недопустимый переход от натурального к трансфинитному порядковому числу, в то время как последовательность цифр в десятичной записи бесконечной дроби действительного числа, $\omega$-ой позиции уже не включает
Хотя вопрос снят только наполовину - как быть с выполнением нумерации действительных чисел, если продолжать трансфинитный процесс? Ведь если неразрешенных действий тут нет, то исходя из предложенных выражений можно постулировать объект $\omega-1$, который будет хотя и неконструктивным, но с другой стороны и большая часть действительных чисел постулируются и не является конструктивными

Xaositect в сообщении #752373 писал(а):

Это совершенно неправильное изложение доказательства. "Список" - это функция $\omega\to R$, где $R$ - множество бесконечных последовательностей цифр. Поэтом ни $\omega$-го, ни $\omega + 1$-го номера там нет и быть не может.

Хорошо спасибо за уточнение, но все-таки как определяется эта функция? Существует ли хоть что-то для функции $\omega\to R$, кроме ее неконструктивного постурирования как факт? В какое действительное число, к примеру, отражается порядковое число 10? Или 100500?