О действительных числах

[Xaositect]

По поводу диагонального метода - давайте зафиксируем конкретное изложение доказательства и будем обсуждать, что конкретно Вам непонятно, и смысл каких конструкций можно пояснить. Изложение из Вашего поста никуда не годится.

-- Вт авг 06, 2013 02:34:35 --

Munuvonaza в сообщении #752377 писал(а):

Хорошо спасибо за уточнение, но все-таки как определяется эта функция? Существует ли хоть что-то для функции $\omega\to R$, кроме ее неконструктивного постурирования как факт? В какое действительное число, к примеру, отражается порядковое число 10? Или 100500?

Множество $\omega\to R$ непусто, значит можно рассмотреть произвольную функцию из этого множества.

Munuvonaza в сообщении #752377 писал(а):

Хотя вопрос снят только наполовину - как быть с выполнением нумерации действительных чисел, если продолжать трансфинитный процесс? Ведь если неразрешенных действий тут нет, то исходя из предложенных выражений можно постулировать объект $\omega-1$, который будет хотя и неконструктивным, но с другой стороны и большая часть действительных чисел постулируются и не является конструктивными

Ну так действительное число - это последовательность цифр, а последовательность цифр - это функция $\omega \to \{0,\dots,9\}$, а $\omega$ не содержит объекта $\omega - 1$, поэтому даже если мы его постулируем, он никакого отношения к действительным числам иметь не будет.

[Munuvonaza]

Xaositect в сообщении #752376 писал(а):

Не читайте википедию для того, чтобы изучать новые для себя вещи. Она для этого не предназначена и не годится.
Так, как это сформулировано, это не имеет никакого отношения к ZFC. Понятие "функции" в ZFC не подразумевает осуществления каких бы то ни было "процедур" и их конечности.

Окей спасибо за разъяснение, на самом деле предлагаемая формулировка изначально выглядела несколько подозрительно, поскольку в классических математических теориях допускаются любые актуальные бесконечные процессы, и необходимость аксиомы выбора вознкает только из-за того, что для конечного множества можно гарантированно использовать нумерацию элементов порядковыми номерами, и далее осуществлять выбор по схеме для натуральных чисел, а в случае с бесконечными множествами это может не работать

Xaositect в сообщении #752376 писал(а):

Там нет наибольшего.

В выбранной аксиоматике это видимо получается как отсыл как максимальному натуральному числу, что не является допустимым, и если попытаться сделать его через свойства трансфинитных порядковых чисел, получается некоторый неконструктивных объект, не являющийся натуральным порядковым числом

Спасибо за идеи, продолжение ответов и уточнений выдвинутых гипотез будет завтра, чтобы было время обдумать предложенные идеи и отдохнуть

[Someone]

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

Первое трансфинитное порядковое число; в рассматриваемом случае предполагается, что действительное число представляется в виде *упорядоченной* последовательности десятичных цифр, каждая из которых имеет свой порядковый номер, в том числе и $\omega$-ый порядковый номер

Извините, но десятичная запись действительного числа не содержит разряда с номером $\omega$. Если Вы его вводите, то это уже не действительные числа, а что-то другое, и к теореме Кантора это отношения не имеет.

К тому же, как Вам уже объясняли, если мы такой разряд введём, то Вашу процедуру "прибавления единицы в младший разряд с переносом" невозможно определить, так как у этого разряда нет предшественника и "переносить" некуда.

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

ZFC в популярно-иллюстративном изложении, ведь описание оригинальной теормы проводтся в словесном
описании и некоторыми неформальными элементами, а не вовсе $\forall - \exists$-терминах

То есть, речь идёт скорее о так называемой "наивной теории множеств" в духе самого Кантора. Ну, если соблюдать определённую осторожность, то ей можно пользоваться.

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

Есть множество формулировок аксиомы выбора, однако видимо общая суть сводится к постулирования существования множества делегатов, то есть элементов, полученных из семейства попарно непересекающихся множество; В этом случае для каждого непустого множества из семейства осуществляется совершенно случайный выбор элемента, который становится делегатом... Разве не как-то так?

В более современной формулировке речь идёт о существовании функции выбора для произвольного семейства непустых множеств. То есть, попросту о том, что множество функций выбора не пусто.

Функция выбора для множества $x$ — это такое отображение $\varphi\colon x\to\bigcup x$, что $\forall y\in x$ выполняется $\varphi y\in y$.

Munuvonaza в сообщении #752363 писал(а):

Не требуется ли ряд аксиом, которые постулируют возможность существования подобного списка, и конструктивного определения его элементов, их порядка и схемы выбора требуемого элемента из списка?

Что такое "список"? Вы, похоже, придаёте этому термину какое-то мистическое значение. Список — это просто последовательность, то есть, функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая значения в множестве действительных чисел (в обсуждаемом случае). Например, $a_n=\frac 1{2^n}$ или что-нибудь ещё.

Munuvonaza в сообщении #752358 писал(а):

Во-вторых во многих наглядных объяснения теоремы показывается таблица цифр, столбцы которой соответствуют разрядам в бесконечных десятичных дробях действительных чисел, расположенных в ее строках; однако про упорядочивание строк нет ни слова - если искомое число, отличающееся от всех остальных с $0$-го по $\omega$-ый разряд, не найдено в списке до $\omega$-ой позиции, то что мешает ему быть расположенным в $\omega+\omega$-ой или $\omega \cdot \omega$ позиции?

Что мешает? Определение счётного множества. Элементы последовательности ("списка") нумеруются исключительно натуральными числами, и больше ничем. Если Вы нумеруете чем-то ещё, то это к счётности, несчётности и теореме Кантора никакого отношения не имеет.

Кстати, если Вы хотите перенумеровать действительные числа ординалами (порядковыми числами), То Вам их понадобится континуум штук — как минимум, до первого ординала мощности континуум. Если же Вы ещё при этом будете удлинять запись трансфинитными разрядами, то полной нумерации у Вас никогда не получится, в чём можно убедиться теми же рассуждениями, что в теореме Кантора.

Я настоятельно советую очень внимательно прочитать сообщения http://dxdy.ru/post413407.html#p413407 и http://dxdy.ru/post414177.html#p414177. В первом Вы найдёте основные определения, во втором — несколько доказательств несчётности множества действительных чисел. На Зенкина и обсуждение его статьи можете не обращать внимания. Обратите внимание, что ни в одном доказательстве не используется предположение "пусть имеется список всех действительных чисел".

Munuvonaza в сообщении #752381 писал(а):

поскольку в классических математических теориях допускаются любые актуальные бесконечные процессы

Неправда. Доказательства — это конечные тексты, поэтому все "бесконечные процессы" должны закончиться за конечное число шагов доказательства. Кстати, в доказательстве теоремы Кантора аксиома выбора не используется.

[6.XIII-2013, 15:20. Исправил опечатки и дописал фразу, которую ранее забыл закончить.]

[Xaositect]

Munuvonaza в сообщении #752381 писал(а):

действительное число является неконструктивной случайной последовательностью чисел, разве что с установленными ограничениями на окончательную часть разрядов

Если убрать слово "случайной" и заменить "неконструктивной" на "не обязательно конструктивной", то именно так дело и обстоит в классическом анализе. Хотите конструктивные действительные числа - читайте Бишопа и его последователей.

[Someone]

Munuvonaza в сообщении #752381 писал(а):

В выбранной аксиоматике это видимо получается как отсыл как максимальному натуральному числу, что не является допустимым, и если попытаться сделать его через свойства трансфинитных порядковых чисел, получается некоторый неконструктивных объект, не являющийся натуральным порядковым числом

По определению ординал $\omega$ — это наименьший бесконечный ординал. Стало быть, любой ординал $\alpha<\omega$ — конечный. Но тогда $\alpha+1$ — тоже конечный, поэтому $\alpha+1\neq\omega$. Поэтому $\omega-1$ не существует.

P.S. В предыдущем сообщении я фактически продублировал кое-что из того, что написали до меня. Это просто из-за того, что я пишу не быстро, а сообщения появлялись очень быстро. Между тем, подобные обсуждения всегда надо начинать с фиксации определений, иначе ничего хорошего не получится.