Вопросы по топологии и категориям

[Munin]

JMH в сообщении #751407 писал(а):

Понятно, я с этой позицией полностью согласен. Категорный подход резко упрощает некоторые концепции, мне частенько приходилось видеть в топологии или алгебре теоремы, с доказательствами на страницу - две, которые с категорной точки зрения выглядят, как тривиальные факты и непосредственно следуют из определения объектов и морфизмов.

Я с категориями толком не знаком, так что у меня всплывают образы когомологий и коцепей. А примеры на категории покажете? (Можно ссылкой на учебник.)

Deggial: тема отделена от темы О пользе правильных определений
тривиальная цитата добавлена мной.

[JMH]

Известные мне, самые лучшие, в плане использования категорий, учебники - Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0 и "Лекции по функциональному анализу" Хелемского, обе книги доступны. К сожалению мне неизвестны подобные книги по топологии, хотя топология - очевидная область для применения категорий. Как правило, учебники по категориям сами содержат отличные примеры. Помимо классики Маклейна мне очень нравятся F.W. Lawvere, S.H. Schanuel, Conceptual Mathematics и Robert Goldblatt, Topoi, тоже доступны.

[Munin]

JMH в сообщении #751422 писал(а):

К сожалению мне неизвестны подобные книги по топологии

В смысле, книги по топологии просто самые лучшие, или книги по топологии, лучшие в плане использования категорий?

[JMH]

Munin в сообщении #751542 писал(а):

В смысле, книги по топологии просто самые лучшие, или книги по топологии, лучшие в плане использования категорий?

Последнее - теория категорий проявляет себя лучше всего, когда имеется большое количество интересных структур и морфизмов. В топологии таковых раздолье - пространства всех мастей, непрерывные, открытые, замкнутые, гладкие отображения, гомоморфизмы фундаментальных групп...

[migmit]

JMH в сообщении #751422 писал(а):

Robert Goldblatt, Topoi, тоже доступны.

Пробовал читать, долго плевался. Сравнимая по обьёму книга Джонстона "Теория топосов" содержит где-то раз в десять больше информации. При этом сложность там распределена равномерно — и определения сложно понять, и теоремы.

[Munin]

А топосы - это вообще что и про что?

[Aritaborian]

Это куда-то ещё дальше за теорию категорий.

[Munin]

Aritaborian
Если вы не против, я послушаю ответ JMH и migmit.

[Aritaborian]

Munin, прошу прощения.

[JMH]

Топосы - довольно часто встречающийся тип категорий, удовлетворяющих нескольким простым аксиомам и имеющий "логическую" структуру, позволяющую определить истинностные значения и логические операции в терминах теории категорий. Топосами являются множества, динамические системы, определённые типы графов и прочее; судя по тому, что топосы были придуманы в рамках теории пучков, о которой я ничего не знаю, они находят применение и там. Вобщем - типичный подход теории категорий: определить структуру, изучить её категорные свойства, а потом применять к любым математическим сущностям, удовлетворяющим определению.

[Munin]

Понятно. Думаю, пока матлогика меня мало заботит, топосы тоже неактуальны. Пучки мне бы хотелось почитать, но в надежде на дифгеометрическую ценность.

-- 05.08.2013 16:34:42 --

А совершенно случайно, не знаете ли, с какого бока к алгебрам Хопфа подступаться?

[apriv]

Munin в сообщении #751714 писал(а):

А топосы - это вообще что и про что?

Топос — это естественное обобщение топологического пространства. Достаточно хорошее топологическое пространство восстанавливается по категории пучков на нем; можно сформулировать естественные аксиомы, которым удовлетворяет категория пучков и назвать то, что получится, топосом. Для этого даже не обязательно иметь топологическое пространство, а достаточно категории с топологией Гротендика на ней.

[JMH]

Munin в сообщении #752231 писал(а):

А совершенно случайно, не знаете ли, с какого бока к алгебрам Хопфа подступаться?

Увы, "не копенгаген"

[apriv]

Munin в сообщении #752231 писал(а):

А совершенно случайно, не знаете ли, с какого бока к алгебрам Хопфа подступаться?

А с какой целью? Есть чудесные книжки Abe "Hopf Algebras" и Sweedler "Hopf Algebras". Ну и во многих книгах по алгебраическим группам про них что-нибудь есть, поскольку представляющий объект алгебраической группы является алгеброй Хопфа.

[Munin]

apriv в сообщении #752296 писал(а):

Топос — это естественное обобщение топологического пространства. Достаточно хорошее топологическое пространство восстанавливается по категории пучков на нем; можно сформулировать естественные аксиомы, которым удовлетворяет категория пучков и назвать то, что получится, топосом. Для этого даже не обязательно иметь топологическое пространство, а достаточно категории с топологией Гротендика на ней.

А получающиеся "обобщенные топологические пространства" имеют интересную и содержательную дифгеометрию / алгебраическую топологию на них? Для начала, чего-нибудь похожее на многообразия?

apriv в сообщении #752313 писал(а):

А с какой целью?

С целью понять их полезность и применение в квантовой теории поля.

apriv в сообщении #752313 писал(а):

Есть чудесные книжки Abe "Hopf Algebras" и Sweedler "Hopf Algebras".

Спасибо!

apriv в сообщении #752313 писал(а):

Ну и во многих книгах по алгебраическим группам

Назовите парочку, а то, видимо, я только с просто группами знаком (и Ли немножко). Собственно, меня интересует ещё даже не алгебры Хопфа, а что нужно знать предварительно, preconditions, и по чему их изучить (или хотя бы обозреть).