А получающиеся "обобщенные топологические пространства" имеют интересную и содержательную дифгеометрию / алгебраическую топологию на них? Для начала, чего-нибудь похожее на многообразия?
Конечно, например, как только Вы переформулируете определение фундаментальной группы пространства на человеческом языке, без всяких там отрезков и путей, так сразу станет понятно, что оно обобщается на достаточно произвольный топос.
Кроме того, в алгебраической геометрии наиболе важна не топология Зариского, а какие-нибудь топологии Гротендика (типа этальной, fpqc, Нисневича...), и чрезвычайно актуальные мотивы Воеводского возникают вместе с категориями [симплициальных] пучков на соответствующем сайте Нисневича. Гомотопическая теория и алгебраическая топология для схем строится как раз на этих топосах.
