О пользе правильных определений

[JMH]

Согласен, но ведь так случается очень часто - фундаментальные и легко доказуемые утверждения тривиальны, в том смысле, что следуют из определений.

Deggial: обсуждение определений и оффтоп отделен из темы Что отражают в реальном мире иррациональные числа?. Тег оффтопа убран.
Если хотите исправить название и предмет темы - пишите ЛС.

[arseniiv]

Вряд ли это утверждение — фундаментальное. Фундаментом чему его можно подставить? Ещё чаще случается, что следуют из определений никому не интересные утверждения, и их обычно бесконечно много. Например, не слишком долго вывести в арифметике Пеано или аксиоматике вещественных чисел $0+0+0+0+0=x+x-x+0-x$ и горы, горы подобных формул.

[Munin]

JMH в сообщении #750824 писал(а):

Согласен, но ведь так случается очень часто - фундаментальные и легко доказуемые утверждения тривиальны, в том смысле, что следуют из определений.

Тут всё дело в том, чтобы выбрать подходящие определения.

[JMH]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #751086 писал(а):

Тут всё дело в том, чтобы выбрать подходящие определения.

Точно Особенно полезны рекурсивные определения:

Цитата:

— Ну ты даешь… Это тебе даже Двадцать Ближайших не скажут. Тайна веков.
— Н-ну, хорошо. А что такое тайна веков?
— Закон жизни, — ответил Шестипалый, стараясь говорить мягко. Ему что-то не нравилось в интонациях Затворника.
— Ладно. А что такое закон жизни?
— Это тайна веков.
— Тайна веков? — переспросил Затворник странно тонким голосом и медленно стал подходить к Шестипалому по дуге.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

JMH,

[Munin]

JMH в сообщении #751108 писал(а):

Точно :-) Особенно полезны рекурсивные определения

Ну, я-то о другом:
post735363.html#p735363

Vince Diesel в сообщении #735363 писал(а):

...изречение, приписываемое Манину: "доказательства важнее теорем, определения важнее доказательств". Также я встречал еще одно высказывание Манина: "за каждым определением стоит работа поколений математиков". Как-то так, не ручаюсь за дословность.

post735344.html#p735344

Munin в сообщении #735344 писал(а):

sowa http://owl-sowa.blogspot.ru/2013/03/rep ... owers.html


Цитата:

Let me clarify how I understand the term “conceptual”. A theory is conceptual if most of the difficulties were moved from proofs to definitions (i.e. to concepts), or they are there from the very beginning (which may happen only inside of an already conceptual theory). The definitions may be difficult to digest at the first encounter, but the proofs are straightforward. A very good and elementary example is provided by the modern form of the Stokes theorem. In 19th century we had the fundamental theorem of calculus and 3 theorems, respectively due to Gauss-Ostrogradsky, Green, and Stokes, dealing with more complicated integrals. Now we have only one theorem, usually called Stokes theorem, valid for all dimensions. After all definitions are put in place, its proof is trivial. M. Spivak nicely explains this in the preface to his classics, “Calculus on manifolds”. (I would like to note in parentheses that if the algebraic concepts are chosen more carefully than in his book, then the whole theory would be noticeably simpler and the definitions would be easier to digest. Unfortunately, such approaches did not found their way into the textbooks yet.) So, in this case the conceptualization leads to trivial proofs and much more general results. Moreover, its opens the way to further developments: the de Rham cohomology turns into the most natural next thing to study.

I think that for every branch of mathematics and every theory such a conceptualization eventually turns into a necessity: without it the subject grows into a huge body of interrelated and cross-referenced results and eventually falls apart into many to a big extent isolated problems.

post735367.html#p735367

Munin в сообщении #735367 писал(а):

Продолжение на ту же тему... в посте sowa
The conceptual mathematics vs. the classical (combinatorial) one.
Опять, в качестве аннотации приведу только небольшую цитату:


Цитата:

It is not easy to explain how conceptual theorems and proofs, especially the ones of the level close to the one of Grothendieck work, could be at the same time more easy and more difficult at the same time. In fact, they are easy in one sense and difficult in another. The conceptual mathematics depends on – what one expect here? – on new concepts, or, what is the same, on the new definitions in order to solve new problems. The hard part is to discover appropriate definitions. After this proofs are very natural and straightforward up to being completely trivial in many situations. They are easy. Classically, the convoluted proofs with artificial tricks were valued most of all. Classically, it is desirable to have a most elementary proof possible, no matter how complicated it is.

A lot of efforts were devoted to attempts to prove the theorem about the distribution of primes elementary. In this case the requirement was not to use the theory of complex functions. Finally, such proof was found, and it turned out to be useless. Neither the first elementary proof, nor subsequent ones had clarified anything, and none helped to prove a much more precise form of this theorem, known as Riemann hypothesis (this is still an open problem which many consider as the most important problem in mathematics).


Остальная часть поста демонстрирует те же идеи на примере теоремы Стокса, и завершается ещё несколькими обобщающими словами.

[JMH]

Munin в сообщении #751375 писал(а):

Ну, я-то о другом

Понятно, я с этой позицией полностью согласен. Категорный подход резко упрощает некоторые концепции, мне частенько приходилось видеть в топологии или алгебре теоремы, с доказательствами на страницу - две, которые с категорной точки зрения выглядят, как тривиальные факты и непосредственно следуют из определения объектов и морфизмов.

[Deggial]

Вопросы по категориям и топологии отделены в тему Вопросы по топологии и категориям