Придумать диффур

[Ktina]

Придумать дифференциальное уравнение, у которого общее решение имеет вид

$$y=C_1+C_2x^2$$

(взято отсюда, старшие курсы, 2010 год, стр. 11)

Мне в голову ничего, помимо

$$x=\dfrac{y'}{y''}$$

, не лезет, однако, интуиция не дремлет, пытаясь бескомпромиссно подшепнуть, что ответ не является единственным.

Пожалуйста, помогите решить.

[ИСН]

Он никогда не единственный. Можно всю конструкцию подвергать эквивалентным преобразованиям хоть до посинения. (При этом иногда будут вылезать ненужные решения или пропадать нужные, как у Вас пропало $y=C$, но это мелочи.) Важно не это, а как Вы его нашли. Если божественным озарением, то одно, а если систематически, то другое дело.

[Ktina]

ИСН в сообщении #752081 писал(а):

...или пропадать нужные, как у Вас пропало $y=C$, но это мелочи.)...

За такие "мелочи" некоторые преподы "любят" по первое число.

-- 05.08.2013, 11:36 --

ИСН в сообщении #752081 писал(а):

Если божественным озарением, то одно, а если систематически, то другое дело.

К сожалению, не систематически, ибо не умею.

[zychnyy]

Теорема. Если функции ${y}_{1}(x)$ и ${y}_{2}(x)$ - решения уравнения

$y''+p(x)y'+q(x)y=0,\ \ \ (1)$

то функция $y={C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$ при любых значениях постоянных $C_1$ и $C_2$ также являются решением уравнения $(1)$.

-- 05.08.2013, 14:45 --

Ktina в итоге, Ваш ответ и получается.

[Oleg Zubelevich]

del

[zychnyy]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, слишком торопился.

[Ktina]

zychnyy в сообщении #752087 писал(а):

...
Ktina в итоге, Ваш ответ и получается.

А как же пропавшее решение, на которое обратил внимание ИСН?

[ИСН]

А систематически всё просто до тупости: имеющееся общее решение крутим и преобразуем до тех пор, пока оно не примет вид, где константа стоит голая, с плюсом. (Это у Вас изначально так.) Потом дифференцируем. Константа пропадает, зато ур становится дифф. Если остались ещё константы - см. п.1.

[Ktina]

ИСН в сообщении #752097 писал(а):

А систематически всё просто до тупости: имеющееся общее решение крутим и преобразуем до тех пор, пока оно не примет вид, где константа стоит голая, с плюсом. (Это у Вас изначально так.) Потом дифференцируем. Константа пропадает, зато ур становится дифф. Если остались ещё константы - см. п.1.

Ой, как всё красиво у Вас! Теперь разобраться бы...

[Sender]

Иначе говоря, исходя из имеющегося уравнения, выражаем константу через всё остальное.