2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:10 
Аватара пользователя
Придумать дифференциальное уравнение, у которого общее решение имеет вид
$$y=C_1+C_2x^2$$
(взято отсюда, старшие курсы, 2010 год, стр. 11)

Мне в голову ничего, помимо $$x=\dfrac{y'}{y''}$$
, не лезет, однако, интуиция не дремлет, пытаясь бескомпромиссно подшепнуть, что ответ не является единственным.

Пожалуйста, помогите решить.

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:33 
Аватара пользователя
Он никогда не единственный. Можно всю конструкцию подвергать эквивалентным преобразованиям хоть до посинения. (При этом иногда будут вылезать ненужные решения или пропадать нужные, как у Вас пропало $y=C$, но это мелочи.) Важно не это, а как Вы его нашли. Если божественным озарением, то одно, а если систематически, то другое дело.

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:36 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #752081 писал(а):
...или пропадать нужные, как у Вас пропало $y=C$, но это мелочи.)...

За такие "мелочи" некоторые преподы "любят" по первое число.

-- 05.08.2013, 11:36 --

ИСН в сообщении #752081 писал(а):
Если божественным озарением, то одно, а если систематически, то другое дело.

К сожалению, не систематически, ибо не умею.

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:44 
Теорема. Если функции ${y}_{1}(x)$ и ${y}_{2}(x)$ - решения уравнения
$y''+p(x)y'+q(x)y=0,\ \ \ (1)$

то функция $y={C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$ при любых значениях постоянных $C_1$ и $C_2$ также являются решением уравнения $(1)$.

-- 05.08.2013, 14:45 --

Ktina в итоге, Ваш ответ и получается. :-)

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:46 
del

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:49 

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, слишком торопился. :-)

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:49 
Аватара пользователя
zychnyy в сообщении #752087 писал(а):
...
Ktina в итоге, Ваш ответ и получается. :-)

А как же пропавшее решение, на которое обратил внимание ИСН?

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 11:55 
Аватара пользователя
А систематически всё просто до тупости: имеющееся общее решение крутим и преобразуем до тех пор, пока оно не примет вид, где константа стоит голая, с плюсом. (Это у Вас изначально так.) Потом дифференцируем. Константа пропадает, зато ур становится дифф. Если остались ещё константы - см. п.1.

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 12:04 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #752097 писал(а):
А систематически всё просто до тупости: имеющееся общее решение крутим и преобразуем до тех пор, пока оно не примет вид, где константа стоит голая, с плюсом. (Это у Вас изначально так.) Потом дифференцируем. Константа пропадает, зато ур становится дифф. Если остались ещё константы - см. п.1.

Ой, как всё красиво у Вас! Теперь разобраться бы...

 
 
 
 Re: Придумать диффур
Сообщение05.08.2013, 12:12 
Иначе говоря, исходя из имеющегося уравнения, выражаем константу через всё остальное.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group