Уравнение и область поиска решений

[Yarkin]

AD писал(а):

]
Есть ему дело, Yarkin. Уравнение $ x^3 + y^3 = z^3 $ над $ R $ и над $ N $ - это разные уравнения, и в левой части у них разные функции стоят, и разные объекты возвращают. В частности, первое имеет решения, а у второго вы еще решений не нашли. А над чем вы ваше уравнение $ (x-1)(4x+3)(x^2 + x +1)(x^2 - 2) $ понимали, я так еще и не понял. Я же не телепат ... Жду ответов.

Почему Вы считаете, что первое уравнение имеет решения над $ R $? Я бы не хотел связывать рассмотрение этого уравнения с каким-то полем, но подчинюсь Вам. Пусть это буде поле $ C $.
Вообще, я удивляюсь, AD, Вашему терпению. У нас разные уровни знаний математики, мало того - различные подходы. Я хочу по простому, а Вы тянете меня наверх. Хотел бы отвечать на все вопросы, но, думаю, этому не будет конца. Поэтому извиняюсь за уход от ответов, но не прощаюсь. Ваши ценные замечания мне скоро пригодяться, ибо Вы писали, что ждете моего доказательства.

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

Почему Вы считаете, что первое уравнение имеет решения над $ R $

Я готов указать пример: $x=1/2, y=1/2, z = (1/4)^{1/3}$. И оно — не единственное!

Yarkin писал(а):

Я бы не хотел связывать рассмотрение этого уравнения с каким-то полем, но подчирюсь Вам.

Рассмотрение уравнения без указания области задания функции бессмысленно.

Добавлено спустя 18 минут 33 секунды:

Yarkin писал(а):

Почему уравнение попало в зависимость от теории.

Потому, что только теория определяет смысл уравнения. Без теории остаются только закорючки на бумаге.

Вы, Yarkin, ошибочно принимаете «скороговорки» математиков за уровень формализации понятия. Уравнение ничего не «знает». По простой причине: уравнение — это объект, а не субъект. Уравнение ничего не «выпускает». Есть (фактически единственное) формальное определение, что такое уравнение: это способ сокращенной нотации задачи поиска множества $\{x \in X: f(x)=0\}$. При этом $X$ — область задания уравнения, без нее Вы не можете сделать ничего. $f$ — функция $f:X \to Y$, причем $Y$ не обязан быть $X$.

Но писать и говорить так длинно не продуктивно. Математики говорят между собой на некотором упрощенном языке. Тем не менее, за каждым «подуем», «потянем», «перенесем в правую часть», «сократим» стоят чеканные формулировки точного математического описания. В школе их не всегда изучают, но они есть.

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

Я готов указать пример:$ x = 1/2, y =- 1/2, z = (1/4)^(1/3) . И оно — не единственное!

Согласен.

незваный гость писал(а):

Рассмотрение уравнения без указания области задания функции бессмысленно.

Тоже согласен, но ведь это началось с какого-то мрмента. Этот момент весьма мал, по сравнению с возрастом уравнения.

незваный гость писал(а):

Потому, что только теория определяет смысл уравнения. Без теории остаются только закорючки на бумаге.

Теория может быть субъективной.

незваный гость писал(а):

Вы, Yarkin, ошибочно принимаете «скороговорки» математиков за уровень формализации понятия. Уравнение ничего не «знает». По простой причине: уравнение — это объект, а не субъект. Уравнение ничего не «выпускает». Есть (фактически единственное) формальное определение, что такое уравнение: это способ сокращенной нотации задачи поиска множества $ \{x \in X: f(x) = 0 \} $ . При этом $ X $ — область задания уравнения, без нее Вы не можете сделать ничего. $ f $ — функция $ f : X \to Y $, причем $ Y $ не обязан быть $ X $ .
Но писать и говорить так длинно не продуктивно.

Зато все понятно. Принимаю и давайте для моего уравнения, найдем множество $ \{x \in C: f(x) = 0 \} $. Значит что-то, все-таки, выпускает?
Я это уравнение составил, чтобы выяснить увязку строения видов чисел, которую Вы дали с разнообразными корнями этого уравнения.
Спасибо за подробное разъяснение.

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

Тоже согласен, но ведь это рачалось с какого-то мрмента. Этот момент весьма мал, по сравнению с возрастом уравнения.

У уравнения нет возраста, отличного от теории его рассмотрения. В разные эпохи, рассматривая закорючки в разных теориях, люди рассматривали разные уравнения.

Yarkin писал(а):

Теория может быть субъективной.

Это не математическая категория.

Yarkin писал(а):

Принимаю и давайте для моего уравнения, найдем множество $ \{x \in C: f(x) = 0 \} $. Значит что-то, все-таки, выпускает?

Не понимаю «Значит что-то, все-таки, выпускает?». Но множество $ \{x \in {\mathbb C}: (x-1)(4x+3)(x^2 + x +1)(x^2 - 2) = 0 \} $ существует и равно $\{1, -4/3, +\sqrt2, -\sqrt2, \frac{-1+i \sqrt3}{2}, \frac{-1+i \sqrt3}{2} \} \subset {\mathbb C}$.

Yarkin писал(а):

Я это уравнение составил, чтобы выяснить увязку строения видов чисел, которую Вы дали с разнообразными корнями этого уравнения.

Оно никак не иллюстрирует то, что происходит.

Ну хорошо, давайте разберем самый простой пример. Допустим, у нас есть множество вещественных чисел $\mathbb R$, всё такое белое и пушистое. Давайте рассмотрим $C = {\mathbb R} \times {\mathbb R}$. Определим сложение и умножение: пусть $z_1, z_2 \in C$, $z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2,y_2)$. Тогда $z_1 + z_2 \, {{\it def} \above = } \, (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \in C$, $z_1 \times z_2 \, {{\it def} \above = } \, (x_1 y_1 - x_2 y_2, y_1 x_2 + y_2 x_1) \in C$. Равенство мы понимаем в теоретико-множественном смысле.

Проверьте, что $\forall z \in C: z + (0, 0) = z$, $\forall z \in C: z \times (1, 0) = z$ и остальные аксиомы поля. $(C, +, \times)$ — это поле, которое мы будем в дальнейшем обозначать $\mathbb C$.

Теперь — тот момент, который у Вас, видимо, вызывает затруднение: рассмотрим $R^* =\{z \in {\mathbb C}: z = (x, y) \wedge y = 0\}$. Проверьте, что $(R^*, +, \times)$ поле. Более того, на нем можно задать отношение порядка и пр. $f: {\mathbb R} \to {\mathbb C} \text { такое, что } f(x) = (x, 0)$ задает изоморфизм ${\mathbb R}$ и $R^* \subset {\mathbb C}$. Поэтому об этом подмножестве «скороговорят» как о вещественных числах, когда обсуждают комплексные. Но $x \not = (x, 0)$, это разные объекты.

Возвращаясь к Вашему примеру: $ \{x \in X: f(x) = 0 \} $. $ \{x \in {\mathbb R}: f(x) = 0 \} $ — это множество вещественных чисел. $ \{x \in {\mathbb C}: f(x) = 0 \} $ — это множество пар вещественных чисел. Разумеется, это разные множества (если они оба непусты).

[AD]

Ну ладно, я продложу, если вы не против.

Yarkin писал(а):

Кардановский писал(а):

КАК ВЫ СМОЖЕТЕ УКАЗАТЬ МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ЛЮБОГО РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА НА ВАШЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ, ЕСЛИ ВЫНУЖДЕНЫ ОТМЕРЯТЬ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ЭТОМУ ЧИСЛУ ОТРЕЗКИ ОТ ВАШЕГО 0 ,НЕ ИМЕЮЩЕГО ТОЧНОГО МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ?! Согласитесь,что это еще один абсурд, порождаемый 0!

Почему Вы берете только нуль - в таком положении находится не только он.

Что-то в этом есть. Я давно пытаюсь объяснить Кардановскому, что топологически ноль ничем не отличается от других чисел, ну помните, рассуждения про $[9^nx]/9^n$ и $([9^nx]+1)/9^n$. Впрочем, это, наверное, уже в ту тему (кстати, молодец нг, что отделил, тут я тоже с Yarkinым согласен)

Yarkin писал(а):

Чтобы понять, обнаруженные Вами парадоксы (для Вас, но не для математиков!), надо ознакомится с историей становления понятия числа.

Это Вы о каких парадоксах? Я что-то ни одного так и не увидел. Впрочем, правильно ли я понял эту фразу, что Вы подчеркиваете, что для математиков это не парадоксы, а лишь для некого вашего здравого смысла?

Yarkin писал(а):

Вообще, я удивляюсь, AD, Вашему терпению. У нас разные уровни знаний математики, мало того - различные подходы. Я хочу по простому, а Вы тянете меня наверх. Хотел бы отвечать на все вопросы, но, думаю, этому не будет конца. Поэтому извиняюсь за уход от ответов, но не прощаюсь. Ваши ценные замечания мне скоро пригодяться, ибо Вы писали, что ждете моего доказательства.

Ну ладно, про поле можете не читать. Хотя это и материал первого курса. Ну ладно, про кольцо тоже. Но аксиомы действительных чисел прочитать полезно. Вот Кардановский почитал - и там мало-помалу пошла содержательная дискуссия. Полезно знать, что именно вы опровергаете.
А про что я хочу доказательство посмотреть, это я конечно иронизировал, мол посмеяться еще раз, что этот Yarkin доказательством называет ... как вы там начинали школьную теорему формулировать, что на плоскости существует треугольник со сторонами $x$, $y$ и $z$, итд ...
_______________________
Ну ладно, короче, Вы поняли, да?, что
все комплексные числа одной природы - пары действительных чисел, и
все действительные числа одной природы - например, при одном из построений, классы эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел, и
все рациональные числа одной природы - классы эквивалентности пар (целое число, натуральное число или ноль), и
все целые числа одной природы - пары (натуральное число или ноль, знак), с точностью до эквивалентности $\pm0$, и
все элементы множества $\mathbb{N}_0$, состоящего из натуральных чисел и нуля, одной природы - это множества вида $\varnothing$,$\{\varnothing\}$,$\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, ...

И не содержатся они одно в другом, но изоморфно вкладываются одно в другое.

И число это или изображение его - это вы нам объясняйте, потому что кроме вас никто смысл этих слов не понимает.
(
ну вот скажите, что чего изображение:
1. пять яблок - изображение числа 5 или
2. число 5 - изображение пяти яблок?
)

P.S. Жирные буковки пишутся так:

\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}

$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

Это не математическая категория.

Вы имеете в виду теорию?

незваный гость писал(а):

Не понимаю «Значит что-то, все-таки, выпускает?». Но множество
$ \{x \in {\mathbbC} <!-- s:( --><img src=\\ существует и равно $ \{1, -4/3, +\sqrt2, -\sqrt2, \frac{-1+i\sqrt3}{2}, \frac{-1+i\sqrt3}{2} \}\subset{\mathbb{C}}$

Вы специально написали два корня неверно или это описка? Все корни комплексные. В $\mathbb{R} $ мы получили бы только четыре действительных корня.

незваный гость писал(а):

Оно никак не иллюстрирует то, что происходит.

Но этот мертвый объект выдает нам по нашему желанию разные ответы. Далее

незваный гость писал(а):

Но $ x \ne (x, 0) $, это разные объекты.

С разными объектами, как мне кажется, нельзя проводить арифметические и алгебраические операции, т. е. $x+(x, 0) =\varnothing $?

Добавлено спустя 35 минут 34 секунды:

AD писал(а):

Это Вы о каких парадоксах?

Про которые там говорится: невозможность указать точку, отделяющую отрицательные и положительные числа, $ o/o =1 $.

AD писал(а):

А про что я хочу доказательство посмотреть, это я конечно иронизировал

А я это принял всерьез.

AD писал(а):

ну вот скажите, что чего изображение:
1. пять яблок - изображение числа 5 или
2. число 5 - изображение пяти яблок?

1. пять яблок - это пять чисел.
2. нет.

AD писал(а):

P.S. Жирные буковки пишутся так:

Спасибо.

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

незваный гость писал(а):

Это не математическая категория.

Вы имеете в виду теорию?

Я имею в виду, «субъективность».

Yarkin писал(а):

Вы специально написали два корня неверно или это описка? Все корни комплексные.

За исключением ошибки в знаке в последнем корне — специально. ($ \{1, -4/3, +\sqrt2, -\sqrt2, \frac{-1+i\sqrt3}{2}, \frac{-1-i\sqrt3}{2} \}\subset{\mathbb{C}}$) А что Вы считаете неверным?

Yarkin писал(а):

Но этот мертвый объект выдает нам по нашему желанию разные ответы.

Ничего он не «выдает». Лучше оставьте этот жаргон, он Вас только запутывает.

$ \{x \in {\mathbb R}: f(x) = 0 \} $ и $ \{x \in {\mathbb Z}: f(x) = 0 \} $ — это разные объекты, не правда ли? Ну и что? Где Вы видите «выдавание» и чем? И эти объекты существуют независимо от наших желаний.

Yarkin писал(а):

С разными объектами, как мне кажется, нельзя проводить арифметические и алгебраические операции, т. е. $x+(x, 0) =\varnothing $?

Для объектов из разных множеств арифметические операции просто не определены, поэтому $x+(x, 0)$ бессысмленно, как $0/0$.

А с разными объектами проводить операции можно. Например, можно доказать, что $0 \not = 1$ (то есть, это разные объекты), и, тем не менее, можно найти $ 0 + 1 $.

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

Я имею в виду, «субъективность».

Категория не математическая, а философская, но может увести в сторону от истины.

незваный гость писал(а):

А что Вы считаете неверным?

Вы пишите 4/3 вместо 3/4.

незваный гость писал(а):

$ \{x \in{\mathbb{R}}: f(x)=0 \}$ и $\{x \in{\mathbb{Z}}: f(x)=0 \} $ — это разные объекты, не правда ли? Ну и что? Где Вы видите «выдавание» и чем? И эти объекты существуют независимо от наших желаний.

Эту теорию разработали мы и до ее разработки, мы никакких ограничений не устанавливали, Теперь мы говорим, что рассматривать эту теорию надо только так, а не иначе. Но это похоже на принуждение.

незваный гость писал(а):

А с разными объектами проводить операции можно. Например, можно доказать, что $ 0 \not=1$ (то есть, это разные объекты), и, тем не менее, можно найти $0+1$.

Даже, если $ 0 \in{\mathbb{C}}, $ и $1 \in{\mathbb{N}} $?

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

атегория не математическая, а философская

Именно! поэтому заниматься отказываюсь.

Yarkin писал(а):

Вы пишите 4/3 вместо 3/4.

Прокололся. Но, по-моему, не по существу.

Yarkin писал(а):

Эту теорию разработали мы и до ее разработки, мы никакких ограничений не устанавливали, Теперь мы говорим, что рассматривать эту теорию надо только так, а не иначе. Но это похоже на принуждение.

Опять философствования. Не нравится теория — не занимайтесь математикой.

Yarkin писал(а):

Даже, если $ 0 \in{\mathbb{C}}, $ и $1 \in{\mathbb{N}} $?

О! Вы начали иронизировать!!!

Нет, мой пример подразумевал, что 0 и 1 принадлежат одному и тому же кольцу.

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

Yarkin писал(а):
атегория не математическая, а философская

незваный гость писал(а):

Именно! поэтому заниматься отказываюсь.

А как с историей?

незваный гость писал(а):

Yarkin писал(а):
Вы пишите 4/3 вместо 3/4.

незваный гость писал(а):

Прокололся. Но, по-моему, не по существу.

Согласен.

незваный гость писал(а):

Опять философствования. Не нравится теория — не занимайтесь математикой.

Но это свойство, присущее человеку: он всегда стремится к преобразованию.

незваный гость писал(а):

О! Вы начали иронизировать!!!

Нет, мой пример подразумевал, что 0 и 1 принадлежат одному и тому же кольцу.

Никакой иронии. Вот примеры из задачника: 1) Вычислить 5 + (-1 + 3i);
2) Изобразить на плоскости XOY множество всех точек, для которых $ |z| = 1. Как Вы к ним относитесь?

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

Никакой иронии.

Жаль.

Yarkin писал(а):

Вот примеры из задачника: 1) Вычислить 5 + (-1 + 3i);
2) Изобразить на плоскости XOY множество всех точек, для которых $ |z| = 1. Как Вы к ним относитесь?

Положительно! Предупреждая Ваш вопрос, что значит «положительно», отвечаю: строго больше нуля.

Обе Ваши задачи подразумевают подмножества $\mathbb C$, так что никаких проблем я не вижу.

1) $ 5 $ в первой задаче обозначает $(5, 0)$, остальное аналогично. Это стандартное обозначение, в чем Вы видите неувязку?

2) $f(z) = |z|$ — это $f: {\mathbb C} \to {\mathbb R}$. Опять таки, в чем вопрос? $1$, в данном случае, — изображение соответствующего элемента ${\mathbb R}$.

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

Жаль.

Что я не ироонизирую?

незваный гость писал(а):

1)$5$ в первой задаче обозначает $(5, 0)$, остальное аналогично. Это стандартное обозначение, в чем Вы видите неувязку?

В том, что я не имею права считать, что $ 5 \in{\mathbb{R}} $

незваный гость писал(а):

2)$f(z)=|z| $ — это $ f:{\mathbb{C}} \to {\mathbb{R}}. Опять таки, в чем вопрос? , в данном случае, — изображение соответствующего элемента .

Здесь понятно.

[AD]

Yarkin писал(а):

Даже, если $ 0 \in{\mathbb{C}}, $ и $1 \in{\mathbb{N}} $?

Такие вопросы возникают только при сильном нежелании учиться. Никто, кроме вас, не будет складывать натуральные числа с целыми. Впрочем, может, я в этой фразе и преувеличиваю уровень всех остальных.
Двести лет назад ваши вопросы, может быть, и были бы уместны. Но сейчас математики с ними уже разобрались. Осталось только это выучить. А то вы столько лет "занимались природой числа" - и даже не разобрались, из чего комплексные числа состоят.

Yarkin писал(а):

Чтобы понять, обнаруженные Вами парадоксы (для Вас, но не для математиков!), надо ознакомится с историей становления понятия числа.

AD писал(а):

Это Вы о каких парадоксах? Я что-то ни одного так и не увидел. Впрочем, правильно ли я понял эту фразу, что Вы подчеркиваете, что для математиков это не парадоксы, а лишь для некого вашего здравого смысла?

Yarkin писал(а):

Про которые там говорится: невозможность указать точку, отделяющую отрицательные и положительные числа, $o/o=1$.

Про $0/0$ Кардановский еще ничего так и не доказал, и то что он пишет - неверно по определению, которое он невнимательно, видимо, читал. Остальные "парадоксы" являются бессмысленными колебаниями воздуха, потому что большинство понятий в них не определено, так что говорить не о чем и даже читать противно.
Итого пародоксов: 0.

Добавлено спустя 3 минуты 13 секунд:

То $5$, которое $\in\mathbb{R}$ и то $5$, которое $\in\mathbb{C}$ - это разные $5$, но для удобства обозначаются одинаково.

незваный гость очень правильно писал(а):

Это стандартное обозначение

[Yarkin]

AD писал(а):

Такие вопросы возникают только при сильном нежелании учиться. Никто, кроме вас, не будет складывать натуральные числа с целыми.

Значит, если $2 \in{\mathbb{N}}, 2 \in{\mathbb{Z}}$ $ 2 + 2 \ne 4$?

[AD]

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Такие вопросы возникают только при сильном нежелании учиться. Никто, кроме вас, не будет складывать натуральные числа с целыми.

Значит, если $2 \in{\mathbb{N}}, 2 \in{\mathbb{Z}}$ $ 2 + 2 \ne 4$?

Да, и более того, тогда даже не понятно, что такое вообще "$+$", и какому множеству должно принадлежать $4$. Впрочем, никто не мешает естественным образом определить функцию $f:\mathbb{N}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ и обозначить $f(x,y)$ выражением $x+y$. Как формально определять $f$ - попробуйте сами догадаться.
Другой подход к разрешению этой проблемы - ввести множество $\mathbb{N}'=\{x\in\mathbb{Z}:x>0\}$, и считать, что $2\in\mathbb{N}'$ а не $\mathbb{N}$ с самого начала. После этого при желании можно установить канонический изоморфизм между $\mathbb{N}'$ и $\mathbb{N}$, и смело забивать на штрих в таких записях. Только вам я это делать не советую, а то опять запутаетесь.