Пренебрежение бесконечно малыми

[Frol]

Во время чтения учебной и научной физической и математической литературы можно встретить фразы типа "разлагая в ряд и пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка...". Я не понимаю этого пренебрежения, ведь чаще всего далее говорится о полученном результате без упоминания о каких либо погрешностях. Если кто понимает этот механизм, пожалуйста поделитесь своим мнением.

[neo66]

В хорошей математической литературе, обычно, это обосновывается. Например,
$\lim\limits_{n \to \infty} (a + \frac{1}{n}) = a$
Поэтому членом $\frac{1}{n}$ в пределе можно пренебречь. Или обоснование этого оставляется читателю в качестве несложного упражнения. Физики, же такими деталями, обычно не заморачиваются.

[PAV]

Я бы сказал, что обычно это остается читателю в качестве простого упражнения. Если бы Вы привели конкретный пример, то было бы проще в нем разобраться. Только из математики, а не физики.

[Frol]

Я просмотрел математические книги в которых, как я полагал были вышеуказанные неточности и обнаружил, что в них автор заменяет знак точного равенства на приближенное (примером таких книг может быть Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ":
"

$$\stackrel{\rightarrow}{ML} = \stackrel{\rightarrow}{OL} - \stackrel{\rightarrow}{OM} = \mathbf{x}(x^i + \triangle x^i) - \mathbf{x}(x^i)$$ Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем: $$ \stackrel{\rightarrow}{ML} \approx \mathbf{x_1}\triangle x^1+\ldots \mathbf{x_n}\triangle x^n $$

"). Примеры, где никак не выраженны "последствия" подобной апроксимации я встречал, по всей видимости, только в физической литературе (в частности у Л.Д. Ландау). Видно это и правда особенность физической литературы, так что прошу прощения за развитие бури в стакане.