Научите понимать косинус

[Xaositect]

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #750020 писал(а):

у меня в школе вроде как раз не на Гильберте основывались, по Атанасяну было, вроде там по Евклиду аксиомы
введение в Основание геометрии я читал, там хорошо про доказательства как раз было. а как до теорем доходило то я не мог сам доказывать, обломался я там сразу. а читать как текст было неинтересно.

Евклида Вы, видимо, не читали, потому что в современных учебниках аксиомы ближе все-таки к Гильберту, а не к Евклиду. Хотя все-равно не все строго.

[bigarcus]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #750025 писал(а):

Тоже дивлюсь.

шож вы за люди такие!
ну при чем, при чем тут это всё...

-- Пн июл 29, 2013 01:10:08 --

Xaositect самого Евклида я не читал. это (то что обычно ошибочно Евклида используют) было во введении Гильберта к Основаниям геометрии сказано краем, и я когда читал вспомнил школьную программу - у нас так и было, и не было Гильберта аксиом..

[_hum_]

В общем, посыл ясен - вам хочется привести все "до кучи", но тут, как мне видится, полезнее было бы просто определиться, что вы из пройденного ранее считаете доказанным, а что нет, и отсюда плясать. Например, работа с декартовой системой координат для вас очевидна? (Ну, там, задание отрезка, треугольника и др. фигур в декартовой системе, расчет длин отрезков, линий и др.). Если да, то вроде бы этого должно было бы вам хватить для всего остального.

[bigarcus]

_hum_ в сообщении #750030 писал(а):

работа с декартовой системой координат для вас очевидна?

очевидна, впрочем

_hum_ в сообщении #750030 писал(а):

расчет длин отрезков

тут надо док-во т. Пифагора знать

_hum_ в сообщении #750030 писал(а):

в декартовой системе

в 1, 2, 3-измерениях кажется ясно все.
хотелось бы понимать и то, почему аналогично все переносится на $n$ измерений.
вот я тут спрашивал: http://dxdy.ru/topic74620.html

[_hum_]

bigarcus в сообщении #750027 писал(а):

в смысле зачем мне знать доказательства а не сам результат?
банально: чтобы хорошо понимать. хочу чтобы для меня некоторые вещи стали более очевидными (и легче оперируемыми в голове, наглядными стали многие). мне такое понимание только знание самих доказательств даёт..

вот например топик topic74352.html

чтобы там понимать нужно с пифагором-косинусом-векторами разобраться, мне так сказали

Эээ... Так это же совсем другое. Здесь упор не на строгость, а на суть. Типа, почему скалярное произведение между единичными векторами можно трактовать как косинус некого угла (даже в многомерных пространствах). Да потому как в случаях с направленными отрезками на плоскости и в трехмерном пространстве это так и есть. Здесь работает метод АНАЛОГИИ (в многомерных пространствах нет "реальных" углов - просто вводят формулы, аналогичные формулам для привычных объектов, и по АНАЛОГИИ называют их теми же именами.

bigarcus в сообщении #750031 писал(а):

хотелось бы понимать и то, почему аналогично все переносится на $n$ измерений.
вот я тут спрашивал: topic74620.html

То же самое объяснение: вводят просто по АНАЛОГИИ. К реальности никакого отношения не имеют (просто математики - люди, и им проще в мозгу оперировать привычными наглядными понятиями)

[Otta]

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #750029 писал(а):

ну при чем, при чем тут это всё...

Все просто, это привычка. Одно дело рассказывать, что такое непрерывная функция школьнику, другое - студенту одной специальности, третье - другой. Это Вам кажется, какая, казалось бы, разница. Мы просто уточняем начальные данные. Абсолютно ничего личного, зря Вы.

bigarcus в сообщении #750031 писал(а):

хотелось бы понимать и то, почему аналогично все переносится на $n$ измерений.

Переносится все дословно. Больше компонент, и все. Или иначе: все Ваши малоразмерные формулы - это $n$-мерный результат при $n=2$ или $3$ соответственно.

-- 29.07.2013, 03:32 --

_hum_

_hum_ в сообщении #750032 писал(а):

просто математики - люди, и им проще в мозгу оперировать привычными наглядными понятиями

Вернее, не так. Математики тоже люди и у них свое представление о наглядности.

[bigarcus]

_hum_ в сообщении #750032 писал(а):

Здесь упор не на строгость, а на суть.

суть коэффициента корреляции можно понять сразу из картинок:

(Оффтоп)

а я хочу лучше понимать. мне доказательства помогают. в конце концов что такого плохого в моих вопросах про доказательства?

_hum_ в сообщении #750032 писал(а):

скалярное произведение

я плохо понимаю что такое скалярное произведение, хотя как считается оно знаю.

_hum_ в сообщении #750032 писал(а):

между единичными векторами

почему между единичными? между любыми.

[_hum_]

То есть, на вопрос, почему длина отрезка в 4-мерном пространстве высчитывается по формуле $l = \sqrt{(x^A_1 - x^B_1) + \dots + (x^A_4 - x^B_4)}$ ответ, потому что:
во-первых, в 4-мерном пространстве понятия "длины" нет, а потому его можно определять, как хочется, но желательно с условием, чтобы это понятие обладало теми же базовыми свойствами, которыми обладает обычная длина (например, неотрицательность, аддитивность и т.п.), а во-вторых, чтобы была приемственность с трехмерным пространством. Потому естественно попытаться рассмотреть в качестве формулы для нее указанную формулу.

[Otta]

bigarcus в сообщении #750036 писал(а):

почему между единичными? между любыми.

Если брать любые, надо еще на произведение длин векторов делить. Тогда будет косинус.

[bigarcus]

_hum_,
почему именно такая формула - это даже не первый вопрос который у меня насчет этого возник. так-то видно, что по аналогии введено.

гораздо лучше я стал понимать про $n$ измерений после того как познакомился с понятием линейно независимых векторов (это мне тут посоветовали, в линейной алгебре прочитал) - без этого понимал гораздо меньше!

-- Пн июл 29, 2013 01:44:15 --

Otta,
ну вот. как минимум,следующие понятия оказываются нужны: вектор, единичный вектор (значит еще не понимаю), линейная зависимость, угол между векторами, функция косинуса...
хм, понятие базиса - сюда же?

[Otta]

bigarcus в сообщении #750039 писал(а):

понятие базиса - сюда же?

Обязательно, иначе Вы себя лишаете возможности писать координаты векторов. :) А тогда Вы не определите скалярное произведение.
Косинус в многомерном пространстве определяется как раз через скалярное произведение.

[bigarcus]

значит, ещё понятия базиса и скалярного произведения - туда же.
туча нужного!

-- Пн июл 29, 2013 01:52:48 --

косинус я пока вроде хорошо понимаю только в прямоугольном треугольнике(

[Aritaborian]

_hum_ в сообщении #750037 писал(а):

во-первых, в 4-мерном пространстве понятия "длины" нет

Как это нет? На прямой длина есть, на плоскости есть, в пространстве есть, а дальше всё, приехали? Прекратите нести чушь.

Munin в сообщении #749986 писал(а):

Например, объяснение, чем действительные числа отличаются от рациональных - это толстый учебник "Общая топология".

Это с полдюжины лекций матана в первом семестре, не более. Какое бы определение вещественных чисел мы не брали. Дольше всего объяснять по Коши, но и оно укладывается в эти рамки.

-- 29.07.2013, 00:57 --

bigarcus в сообщении #750041 писал(а):

косинус я пока вроде хорошо понимаю только в прямоугольном треугольнике(

А через единичную окружность уже понимаете, или вас ещё два десятка страниц нужно этому учить? Простите за грубость, пожалуйста.

[_hum_]

bigarcus в сообщении #750036 писал(а):

я плохо понимаю что такое скалярное произведение, хотя как считается оно знаю.

Скалярное произведение в первую очередь образно полезно связывать с операцией получения ортогональной проекции одного вектора на другой. А именно, пусть есть два вектора $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$. Как тогда рассчитать проекцию вектора $\mathbf{a}$ на вектор $\mathbf{b}$. Начертите на листке и убедитесь, что $pr_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_\mathbf{b}$, где $\mathbf{e}_\mathbf{b} = \mathbf{b} /|\mathbf{b} |$ - единичный вектор в направлении вектора $\mathbf{b}$. Еще одно образное понимание проистекает из того, что $\mathbf{e}_\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_\mathbf{b} = \cos \alpha$.

[bigarcus]

Aritaborian в сообщении #750042 писал(а):

А через единичную окружность уже понимаете

да понимаю в принципе. проекция по иксу вектора, указывающего из начала координат в точку на окружности, повёрнутую на заданный угол против часовой отсчитывая от оси икс первого квадранта.

то что косинус определенный для прямоугольного треугольника - частный случай определения через окружность тоже понимаю. (хотя не очень!) (если хоть на 50 страницах внятно объясните, буду благодарен. чего вам ещё?)

но как-то все у меня не связывается. конкретных вопросов пока задать не могу.

-- Пн июл 29, 2013 02:04:46 --

_hum_, кажется вы очень полезное для меня сообщение написали. но разбираться буду уже завтра. спасибо!