Научите понимать косинус

[Xaositect]

Munin в сообщении #749424 писал(а):

Есть поля многочленов - тоже много разных

Нету полей многочленов. Бывают поля многочленов по модулю, а просто полей многочленов не бывает.

-- Пт июл 26, 2013 20:10:15 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749424 писал(а):

Человек в школьной геометрии уже знаком с обычными пространствами, которые знает под названиями евклидова плоскость и евклидово пространство. Может быть, представляет себе, как они обобщаются до евклидова пространства $n$ измерений. На это знание и на этот термин я и опираюсь. Да, реально векторное пространство без скалярного произведения действует не (только) на евклидовом пространстве, а на аффинном. Но что такое аффинное пространство - в школе не проходят. Дело не в том, что он слова такого не знает, а в том, что он понятия такого не знает. А если ему его давать, то всплывёт вопрос "а зачем?".

Кроме того, и понятие вектора человек из школьной геометрии знает, когда оно вводится так или иначе в евклидовой плоскости, в евклидовом пространстве, или в физическом пространстве (которое тоже евклидово). Если ему давать просто векторы и векторные пространства с нуля, то возникает вопрос, а как они связаны с теми векторами, с которыми он уже знаком. На этот вопрос надо ответить, и я на него отвечаю, опять же, упоминая те самые евклидовы пространства. Это, имхо, лучше, чем вводить сложную и (отчасти) ненужную и устаревшую классификацию векторов на "связанные, скользящие и свободные", как здесь уже попытались выше по теме. Почему-то там вы промолчали, а на меня набросились.

Так значит и надо сказать, что евклидова плоскость и пространство, которые проходятся в школе и задаются аксиоматикой Гильберта, --- это устаревший подход к тому, что сейчас называется "аффинное пространство", а не вводить новое значение общепринятого термина "евклидово пространство", которое запутает человека сразу же, как он в учебнике доберется до этих самых евклидовых пространств.

[bigarcus]

Oleg Zubelevich в сообщении #749144 писал(а):

1) доказать, что множество многочленов является линейным пространством относительно сложения и умножения на число.

что значит относительно слож. у множ. на число?
множество многочленов или является лин. пространством, или не является. разве не так?
ведь сложение элементов мно-ва и умножение на число входят в определение лин. пр-ва...

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #749464 писал(а):

ведь сложение элементов мно-ва и умножение на число входят в определение лин. пр-ва...

Именно. Это значит, что для того, чтобы задать линейное пространство, надо взять множество и определить две операции - сложение и умножение на скаляр. Это Oleg Zubelevich и сделал в своем вопросе.
Ведь можно же рассматривать разные операции на одном и том же множестве, с одними оно будет линейным пространством, а с другими может и не быть.

[Munin]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #749428 писал(а):

Нету полей многочленов. Бывают поля многочленов по модулю, а просто полей многочленов не бывает.

Согласен, но называются они везде просто полями многочленов. То, что они по модулю, видно там, где они вводятся.

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #749428 писал(а):

Так значит и надо сказать, что евклидова плоскость и пространство, которые проходятся в школе и задаются аксиоматикой Гильберта, --- это устаревший подход к тому, что сейчас называется "аффинное пространство"

Это неверно. Это устаревший подход к тому, что сейчас называется "аффинное пространство с евклидовой метрикой", или короче, "евклидово пространство". Кстати, и аксиоматики Гильберта не всегда в школе дают.

Xaositect в сообщении #749428 писал(а):

а не вводить новое значение общепринятого термина "евклидово пространство"

Да два у него значения общепринятых, два! Аффинное пространство с евклидовой метрикой и векторное с евклидовой нормой. И на оба можно найти кучу книг с примерами.

-- 26.07.2013 23:55:13 --

bigarcus в сообщении #749464 писал(а):

что значит относительно слож. у множ. на число?

Не "относительно", а "линейное пространство относительно". То есть, если взять данное множество вместе с множеством чисел, то вместе они будут образовывать линейное пространство. Линейное пространство - это пара множеств ("коэффициенты" и "сами линейные объекты"). Коэффициенты сами могут быть не числами, а каким-то другим множеством (хоть стульями), но они должны удовлетворять для этого определённым требованиям.

[bigarcus]

Xaositect в сообщении #749468 писал(а):

Ведь можно же рассматривать разные операции на одном и том же множестве, с одними оно будет линейным пространством, а с другими может и не быть.

не понял. в определение линейного пространства входит указание на то, что одна из операций - это сложение элементов множества, а другая - умножение на скаляр!
если брать другие операции, то это по определению уже не линейное пр-во.
где я ошибаюсь?

-- Пт июл 26, 2013 22:59:35 --

Munin в сообщении #749470 писал(а):

Линейное пространство - это пара множеств

в учебнике написано что это одно множество.
никакие коэффициенты векторами (т.е. элементами лин. пр-ва) не являются

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749470 писал(а):

Согласен, но называются они везде просто полями многочленов

да уж на редкость позорное невежество, отговариваться теперь можно как угодно, после того , как даже не сразу понял на , что именно указали несколько участников

[Munin]

bigarcus в сообщении #749471 писал(а):

не понял. в определение линейного пространства входит указание на то, что одна из операций - это сложение элементов множества, а другая - умножение на скаляр!

Ну так в качестве скаляров можно брать разные множества.

[Xaositect]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749470 писал(а):

Согласен, но называются они везде просто полями многочленов. То, что они по модулю, видно там, где они вводятся.

Да нигде они так не называются.

bigarcus в сообщении #749471 писал(а):

не понял. в определение линейного пространства входит указание на то, что одна из операций - это сложение элементов множества, а другая - умножение на скаляр!
если брать другие операции, то это по определению уже не линейное пр-во.
где я ошибаюсь?

Ну вот в случае многочленов там есть общепринятое определение сложения. Но вообще говоря его может и не быть и сложение можно определять как захочется.

[Otta]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749424 писал(а):

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Я давно не пытаюсь объяснять.

Тогда что вы делаете в разделе "Помогите решить / разобраться (М)"? Мешаете объяснять другим? Просто флудите, флеймите и троллите?

В этом топике я уступаю дорогу Вам, дабы не мешать и не вносить разнобой, неужели не понятно. Вас он хоть как-то слушает. А тон свой уберите, что я делаю в этом разделе, можете проследить по моим ответам.

Но Ваши разъяснения были бы хороши, если бы были корректны. Не я одна Вам об этой некорректности сказала, что же, весь отряд идет не в ногу? Вот я и пытаюсь как-то на Вас, одного из немногих объясняющих, которых в этой ветке слушают, оказать воздействие. Не слишком-то успешно, увы.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Я среагировала только на Ваше сообщение: не есть хорошо вводить в заблуждение человека на этапе введения определений.

Цитата:

Нету здесь никакого "этапа введения определений". [...] А мы можем только объяснить, какие определения и в каком порядке надо читать и знать, и что они "на пальцах" значат.

Не придирайтесь к словам. Человек находится на этапе знакомства с определениями. Кто его с ними знакомит - он сам, учебник, лектор, Вы - не имеет значения. Имеет значение, будет ли он в результате белое называть зеленым или нет.

Цитата:

Человек в школьной геометрии уже знаком с обычными пространствами, которые знает под названиями евклидова плоскость и евклидово пространство. Может быть, представляет себе, как они обобщаются до евклидова пространства $n$ измерений. На это знание и на этот термин я и опираюсь.

Ага. Вот это я и не поняла: такое понятие евклидового пространства для меня осталось в безнадежной молодости. И по своим студенческим впечатлениям могу добавить, что нет ничего страшного в раннем переучивании: в бытность мою студенткой нам понятие аффинного пространства рассказывали на первой же лекции по аналитической геометрии на первом курсе. И ничего, как-то обошлось. Но тогда я согласна с Xaositect. И в том, как стоило бы сказать, и в том, почему.

Цитата:

Это, имхо, лучше, чем вводить сложную и (отчасти) ненужную и устаревшую классификацию векторов на "связанные, скользящие и свободные", как здесь уже попытались выше по теме. Почему-то там вы промолчали, а на меня набросились.

Munin, дорогой, я на Вас не набросилась)), зря Вы это так поняли. Про векторы было забавно, конечно, но там не стоял вопрос: объясните мне, что такое векторное пространство. Там еще теорема косинусов и попытки рассказать человеку азы школьной программы на языке, близком к школьному. На пальцах, буквально. Но потом подтянулась тяжелая артиллерия в виде вузовских понятий, вот их бы не надо мешать в кучу. Там была вольная интерпретация - тут смешивание понятий. Разные вещи.

Цитата:

Otta в сообщении #749412 писал(а):

А аффинное хорошо иллюстрируется обычным $\mathbb{R}^2$

Обычное $\mathbb{R}^2,$ как раз, не аффинное, а векторное.

Если у Вас там нет точек, то конечно. Но обычно точки там есть. Вы не плоскость ли привлекли в качестве аффинного пространства для противопоставления векторному?

[Otta]

bigarcus в сообщении #749471 писал(а):

не понял. в определение линейного пространства входит указание на то, что одна из операций - это сложение элементов множества, а другая - умножение на скаляр!
если брать другие операции, то это по определению уже не линейное пр-во.
где я ошибаюсь?

Давайте по порядку. На самом деле, Вам уже post749468.html#p749468 хорошо ответили, но не помогло. Давайте сначала.
Пусть есть множество упорядоченных пар $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{R}, x_2\in\mathbb{R}\}$. Вопрос: является ли это множество векторным пространством? Сперва подумайте, а потом смотрите ответ.

(Оффтоп)

Нет, потому что не определено, как складывать элементы этого множества и как умножать их на число. И на какое число.

Сложение - это условное название. В качестве этой операции может быть любая, лишь бы она удовлетворяла нужным свойствам. То же касается и умножения на скаляр. Единственное требование к скалярам - они должны образовывать поле.
Поэтому чтобы сдвинуться дальше, нужно понять, что нам, кроме нашего основного множества $X$, требуется еще и поле скаляров (обозначим его $\mathcal F$), и ввести две операции: сложения (условный термин), которое двум элементам из $X$ ставит в соответствие третий оттуда же, и умножения на число (тоже условный термин), которое каждому элементу из $X$ и скаляру из $\mathcal F$ ставит в соответствие элемент из $X$. Чаще всего эти операции определяются наиболее естественным образом, но это не обязательно. Требуется лишь, чтобы выполнялись все аксиомы векторного пространства. Если они будут выполнены, то полученная структура называется векторным пространством над полем $\mathcal F$.

Разумеется, если наши множества снабдить по-другому определенными операциями, то векторное пространство может а) перестать им быть, б) наоборот, в) остаться векторным пространством, но это будет уже другое пространство.

Давайте дальше смотреть примеры.
1) Пусть $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{R}, x_2\in\mathbb{R}\}$, $\mathcal F=\mathbb{R}$. Определим сложение двух элементов оттуда как покомпонентное и умножение на скаляр тоже. То есть $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2)$, $\lambda x=(\lambda x_1, \lambda x_2)$. Теперь у нас все есть - и множество, и поле (да?), и операции сложения и умножения мы ввели вроде бы. Кажется. Верно ли, что то, что получилось - векторное пространство?
2)Пусть все так же, только $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{Q}, x_2\in\mathbb{Q}\}$, $\mathcal F=\mathbb{R}$. Вопрос тот же.

(Ответ)

Нет.

3) Пусть все так же, только $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{Q}, x_2\in\mathbb{Q}\}$, $\mathcal F=\mathbb{Q}$. Вопрос тот же.

(Ответ)

Верно.

4) Пусть все так же, только $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{Z}, x_2\in\mathbb{Z}\}$, $\mathcal F=\mathbb{Z}$. Вопрос тот же.

(Ответ)

Нет.

Но никто не обязывал нас вводить наши две операции именно так, как в примере 1. Главное, чтобы аксиомы выполнялись.
6) $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{R}, x_2\in\mathbb{R}\}$, $\mathcal F=\mathbb{R}$.
Определим сложение $x+y=(2x_1+2y_1,2x_2+2y_2)$, умножение - как ранее. Все выполнено?
7) $X$ - то же. Определим сложение стандартно (покомпонентное), а умножение на $\lambda$ - так: $\lambda x=(\lambda x_1, x_2)$. Вопрос тот же.
8) Поэкспериментируйте еще сами.

Вообще, в идеале это делается так: в довесок к лектору берется учебник и, что главное, прорешивается большое количество задач. Потому что иначе никак. Какой у Вас сборник задач, что Вы решаете?

Пока же Вам нужно осознать, что для определения векторного пространства необходимо, помимо основного множества (претендующего на звание этого пространства), иметь поле скаляров и ввести две операции или же уже иметь их введенными. Эти операции могут выглядеть непохоже на наиболее естественные. Они просто так обозначаются. Одна "+", другая - "умножить" на число. Когда говорят о линейном пространстве относительно каких-то операций, то все, чего добиваются - подчеркнуть, какими именно будут эти операции, а не что-то там другое. Поле скаляров тут ни при чем, оно оговаривается в первую очередь (проследите чуть Выше), наряду с множеством $X$.

[Munin]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #749481 писал(а):

Да нигде они так не называются.

Хорошо. Ошибся, приношу всем свои извинения.

Otta в сообщении #749488 писал(а):

А тон свой уберите, что я делаю в этом разделе, можете проследить по моим ответам.

Приношу извинения.

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Но Ваши разъяснения были бы хороши, если бы были корректны.

Я делаю выбор между корректностью и понятностью. К сожалению, и то и другое недостижимо вместе (точнее, достижимо, но ценой третьего недостатка: объёмности и неподъёмности для читающего). Если вам мой выбор не нравится - умолкаю. Хотел доброе дело сделать, помочь спрашивающему, поскольку тут развёлся спор участников, не заинтересованных в этом, но такой ценой мне это не надо.

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Не придирайтесь к словам. Человек находится на этапе знакомства с определениями.

Я не к словам придираюсь, а к сути. Человек находится на этапе знакомства с определениями, но не мы его с ними знакомим (кроме Oleg Zubelevich, воображающего, что создать мешанину разных определений в голове у спрашивающего - лучшее, что он может сделать; впрочем, как я уже напоминал, его цель - "лулзы").

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Кто его с ними знакомит - он сам, учебник, лектор, Вы - не имеет значения. Имеет значение, будет ли он в результате белое называть зеленым или нет.

Сначала надо объяснить, что бывает белое и чёрное, а потом уже вводить зелёное и красное. Система понятий математики сложна и изучается постепенно. На ранних этапах человек почти ничего не знает, и видит какие-то непонятные финтифлюшки без малейшей мотивации. Как ему объяснить, что это, и зачем понадобилось? Можно встать с розгами и сказать: "учи от сих до сих, и пока до корки не прочитаешь, не вякай". А можно сначала объяснить что-то неточно, но хоть сколько-нибудь понятно, а потом уточнить. Разумеется, второй шаг не менее важен, и должен быть проделан своевременно, а не когда человек уже привык к неправильному. Но его легко можно проделать.

В конце концов, векторы вообще не имеют ничего общего с "отрезками со стрелочками", но мы про них так думаем, потому что нам когда-то в школе про это соврали. И хорошо сделали, потому что мы смогли понять, что такое векторы, ещё до того, как изучили это понятие в полноценном определении.

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Munin, дорогой, я на Вас не набросилась)), зря Вы это так поняли.

Не вы лично, а вы всей толпой.

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Про векторы было забавно, конечно, но там не стоял вопрос: объясните мне, что такое векторное пространство. Там еще теорема косинусов и попытки рассказать человеку азы школьной программы на языке, близком к школьному.

Моя вина, я отстал от разговора.

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Но потом подтянулась тяжелая артиллерия в виде вузовских понятий, вот их бы не надо мешать в кучу.

Человеку дали вузовский учебник, он его принялся читать... как обойтись без мешания в кучу вузовских понятий?

Otta в сообщении #749488 писал(а):

Если у Вас там нет точек, то конечно. Но обычно точки там есть. Вы не плоскость ли привлекли в качестве аффинного пространства для противопоставления векторному?

Я привык к одной системе понятий, сейчас выяснил, что есть и другая. Все свои высказывания снимаю, приношу извинения.

-- 27.07.2013 07:27:11 --

(Оффтоп)

Otta в сообщении #749510 писал(а):

Сложение - это условное название. В качестве этой операции может быть любая, лишь бы она удовлетворяла нужным свойствам. То же касается и умножения на скаляр. Единственное требование к скалярам - они должны образовывать поле.

А вот теперь я буду совать вам палки в колёса, хорошо?

Начните с простого: с группы (плюс, по вкусу, полугруппы, посета, полурешётки, решётки). Тут всё просто: одно множество и одна операция. Расскажите, какие операции бывают, что на множестве можно вводить много разных операций, иногда получаются изоморфные группы, какие бывают свойства операций. Важнейшие примеры групп. Только когда человек освоится со случаем "одно множество и одна операция", можно давать более сложные вещи.

[Otta]

(Оффтоп)

Принимается.

Munin в сообщении #749514 писал(а):

В конце концов, векторы вообще не имеют ничего общего с "отрезками со стрелочками", но мы про них так думаем, потому что нам когда-то в школе про это соврали. И хорошо сделали, потому что мы смогли понять, что такое векторы, ещё до того, как изучили это понятие в полноценном определении.

Совершенно верно. И хорошо сделали. Потому что каждому возрасту - свой уровень абстракций, и не пройдя один, не окажешься на следующем.

Munin в сообщении #749514 писал(а):

Я делаю выбор между корректностью и понятностью. К сожалению, и то и другое недостижимо вместе (точнее, достижимо, но ценой третьего недостатка: объёмности и неподъёмности для читающего). Если вам мой выбор не нравится - умолкаю. Хотел доброе дело сделать, помочь спрашивающему, поскольку тут развёлся спор участников, не заинтересованных в этом, но такой ценой мне это не надо.

Нормальный был выбор. Слово подвернулось зарезервированное под другие нужды. Не надо умолкать.

Да, и главное: мы ж даже не знаем, кому все это объясняем. А это важно. Факультет? курс? специальность? класс? теорема Пифагора вместе с Гельфандом - это сильно, конечно. Меня вот этот набор и попытки читать все сразу сбивают с толку, и я не могу сориентироваться, что человек знает и что хочет.

А Oleg Zubelevich, на самом деле, свои определения приносил очень кстати... но не для ТС. Того они, я думаю, повергали в шок и трепет. Если он их читал, конечно.

(Немного личного)

Евклидовы пространства нам в курсе алгебры рассказывали, естественно, уже после векторных. Поскольку чтобы определить евклидово, нужна векторная структура, которая, собссно, наделяется скалярным произведением (не евклидовой метрикой). Евклидовость замечательна тем, что можно мерить углы, в отличие от. Ну и вводить понятие ортогональности, как следствие. Поэтому для меня это именно зеленое. Более того, понятие евклидовости я лучше воспринимаю в другой линейке - "непрерывной", где определяются топологические пространства, метрические , нормированные, гильбертовы, евклидовы, такая матрешка из разновидностей пространств: гильбертово пространство нормируемо, нормированное метризуемо, метрика порождает базу топологии. Понятно, аффинность где-то совсем отдельно, она не в этой линейке. И, в общем, не в той. Хотя, если рассказывать про векторные и проч. пространства, например, на инженерной специальности, то совсем не до этих красот и можно обозвать все конечномерные евклидовыми, заранее введя на них скалярные произведения. А вот у физиков и математиков я бы так делать не стала. Математики вообще тогда потеряют ориентацию в материале. Да и шарму никакого.

(Кстати. Что за новое противное слово "мотивация"? Раньше его в таком контексте не было. Что значит - нет мотивации? ну иди работай. Ну ищи, что нравится. Не знаю, мне было просто завораживающе интересно.)

-- 27.07.2013, 09:41 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749514 писал(а):

А вот теперь я буду совать вам палки в колёса, хорошо?

Хорошо. Суйте. Я бы не поднимала этот вопрос, если бы ТС сам не поднял его страницей раньше. Задачи разобраться прилагаются. Задачи несложные. В задачниках потяжелее. Посмотрим, ладно? Может, не все так и плохо.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

В классической механике есть два фундаментальных понятия: "сила" и "момент силы". Вот второе понятие возникает именно в связи с тем, что наше физическое $\mathbb{R}^3$ аффинно: мало знать вектор силы, надо знать точку в которой сила приложена.


Беседа постепенно переходит в "Вопросы преподавания"

[bigarcus]

задачник никакой не использую
а какой есть? никакого не знаю

[Oleg Zubelevich]

Моденов Сборник задач по аналитической геометрии