помогите проверить неравенство

[rahmatjon]

Имеются $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ - произвольные положительные вещественные числа, для которых имеет место неравенство $\frac{b_1}{b_2} < \frac{a_1+x}{a_2+x}$ (1) при любом положительном вещественном $x$. Как показать, что для рассматриваемых чисел $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ выполняется неравенство $\frac{b_1}{b_2} \leq \frac{a_1}{a_2}$ (2)?
Хотел провести доказательство от противного. То есть предположить, что для некоторых $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ выполняется неравенство $\frac{b_1}{b_2} > \frac{a_1}{a_2}$ и найти $x_0$ при котором будет нарушаться (1). Но сделать это не смог.

Говоря иначе хотелось бы доказать следующее утверждение:
Пусть $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ - произвольные положительные вещественные числа, для которых имеет место неравенство $\frac{b_1}{b_2} < \frac{a_1+x}{a_2+x}$ (1) при любом положительном вещественном $x$. Тогда имеет место неравенство $\frac{b_1}{b_2} \leq \frac{a_1}{a_2}$ (2).

Дайте, пожалуйста, подсказку.
Спасибо!

[Konstantce]

Перейдите к пределу при $x\rightarrow0$ и воспользуйтесь тем, что операция предельного перехода сохраняет неравенства.

[rahmatjon]

Konstantce в сообщении #749359 писал(а):

Перейдите к пределу при $x\rightarrow0$ и воспользуйтесь тем, что операция предельного перехода сохраняет неравенства.

А где можно почитать о том, что операция предельного перехода сохраняет неравенства?

[Konstantce]

Да в любом учебнике математического анализа, там где рассматриваются пределы последовательностей. Да и вот здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1%82%D0%B8
Смотрите "свойства сохранения порядка".
В вашем случае, конечно, изначально последовательности нет, но её можно выделить, положив $x_i=\frac 1 n$, и рассмотрев последовательность $\frac{a_1+x_i}{a_2+x_i}$, каждый член которой больше $\frac {b_1} {b_2}$.

[zychnyy]

Чтобы первое влекло второе нужно дополнительное условие: $b_1\ge b_2$.

[rahmatjon]

zychnyy в сообщении #749370 писал(а):

Чтобы первое влекло второе нужно дополнительное условие: $b_1\ge b_2$.

При чем здесь это условие?
Вообще-то, $b_1\le b_2$.

[Konstantce]

Согласен, мне тоже кажется, что zychnyy что-то напутал.
На $b_1, b_2$ никаких ограничений не нужно накладывать дополнительных.

[zychnyy]

rahmatjon в сообщении #749374 писал(а):

zychnyy в сообщении #749370 писал(а):

Чтобы первое влекло второе нужно дополнительное условие: $b_1\ge b_2$.

При чем здесь это условие?
Вообще-то, $b_1\le b_2$.

Тогда Ваше предположение несостоятельно. И с чего Вы взяли, что $b_1\le b_2?$

[Aritaborian]

(Хозяйке на заметку)

Знаки «меньше или равно» и «больше или равно» в том виде, как их принято писать в русскоязычной среде, набираются так: \leqslant, \geqslant.

[TOTAL]

rahmatjon в сообщении #749349 писал(а):

Имеются $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ - произвольные положительные вещественные числа, для которых имеет место неравенство $\frac{b_1}{b_2} < \frac{a_1+x}{a_2+x}$ (1) при любом положительном вещественном $x$. Как показать, что для рассматриваемых чисел $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ выполняется неравенство $\frac{b_1}{b_2} \leq \frac{a_1}{a_2}$ (2)?
Хотел провести доказательство от противного. То есть предположить, что для некоторых $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ выполняется неравенство $\frac{b_1}{b_2} > \frac{a_1}{a_2}$ и найти $x_0$ при котором будет нарушаться (1). Но сделать это не смог.

Дайте, пожалуйста, подсказку.

Подсказка: смогите доказать от пртивного.

Пусть имеется противное, т.е.

$$\frac{a_1}{a_2} < \frac{b_1}{b_2} < \frac{a_1+x}{a_2+x}$$

Поэтому $a_2> a_1,$ поэтому $b_2> b_1,$ поэтому легко решите неравенство

$$ \frac{b_1}{b_2} > \frac{a_1+x}{a_2+x}$$

[iifat]

zychnyy в сообщении #749378 писал(а):

с чего Вы взяли, что $b_1\le b_2$?

А вы устремите $x\rightarrow\infty$

[rahmatjon]

zychnyy в сообщении #749378 писал(а):

rahmatjon в сообщении #749374 писал(а):

zychnyy в сообщении #749370 писал(а):

Чтобы первое влекло второе нужно дополнительное условие: $b_1\ge b_2$.

При чем здесь это условие?
Вообще-то, $b_1\le b_2$.

Тогда Ваше предположение несостоятельно. И с чего Вы взяли, что $b_1\le b_2?$

Вопрос возник из практики (в подробности которой вдаваться не хочу). И там 0 \leqslant $b_1\leqslant b_2$. Но это условие здесь не нужно.

-- 26.07.2013, 17:11 --

Konstantce в сообщении #749369 писал(а):

Да в любом учебнике математического анализа, там где рассматриваются пределы последовательностей. Да и вот здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1%82%D0%B8
Смотрите "свойства сохранения порядка".
В вашем случае, конечно, изначально последовательности нет, но её можно выделить, положив $x_i=\frac 1 n$, и рассмотрев последовательность $\frac{a_1+x_i}{a_2+x_i}$, каждый член которой больше $\frac {b_1} {b_2}$.

В книге Шипачева В.С. "Основы высшей математики" есть
Теорема 3.10. Если элементы сходящейся последовательности {$x_n$} начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству $x_n \leqslant b (x_n \geqslant b)$, то и предел $a$ этой последовательности удовлетворяет неравенству $a \leqslant b (a \geqslant b)$.

Но в моем случае правая часть неравенства (1) не последовательность, а непрерывная функция, зависящая от положительного вещественного $x$. На основании чего я могу пользоваться теоремой 3.10?

[zychnyy]

Возьмите $x=\frac{1}{10},\ b_1=\frac{1}{4},\ b_2=\frac{1}{2},\ a_1=1,\ a_2=2+\frac{1}{20}$ и убедитесь, что Ваше предположение неверно.
Первое не влечет второе. Вот так.

[iifat]

rahmatjon в сообщении #749388 писал(а):

Но в моем случаем правая часть неравенства (1) не есть последовательность, а есть непрерывная функция

Свойства пределов функций во многом похожи на свойства пределов последовательностей. По идее, в той же книжке должны быть и их свойства.

-- 27.07.2013, 00:53 --

zychnyy в сообщении #749402 писал(а):

Первое не влечет второе. Вот так

Условие перечтите ещё раз.

rahmatjon в сообщении #749349 писал(а):

при любом положительном вещественном $x$

А у вас при, например, $x=\frac1{20}$ не выполняется.

[zychnyy]

iifat ТС привел начальные условия. Под начальные условия найден контрпример. Что еще нужно?

-- 26.07.2013, 19:57 --

Цитата:

А у вас при, например, $x=\frac1{20}$ не выполняется.

А кто ж спорит?

-- 26.07.2013, 20:01 --

А, все, понял. Пардон.