О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана

[Руст]

О равномерности распределения $\{\frac{T_n}{2\pi}$ мне ничего не известно, хотя это может быть и не так сложно доказать хотя бы в слабом (по Вейлю) смысле. Известно, что количество $\#\{T_n||t_n|<T\}=aT\ln T+o(T\ln T)$ (константа а известно), т.е. в среднем они сгущаются как $\ln T$ на период при наматывании на окружность..

[bayak]

Руст в сообщении #746301 писал(а):

Мне не понятна ваша фраза. Что такое "аргумент дзета функции"?

Руст, извините за задержку с ответом. Впрочем, и сейчас нет возможности ответить с формулами, но ссылку на формулы дам. Похоже в начальном посте я упустил, что кроме "ро" там есть ещё "фи".

[bayak]

sergei1961 в сообщении #746316 писал(а):

О чём речь идёт, уточните, пожалуйста. Что нули дзеты распределены на критической прямой равномерно? Или что-то другое?

Если на комплексной плоскости нарисовать спираль $t^{1-a}t^{ib}$, то по ней можно рассыпать горох (точки) $n^{1-a}n^{ib}$, а затем посмотреть куда ложится центр "тяжести" отмеченного множества точек. Если центр "тяжести" ложится в центр комплексной плоскости, то мы говорим о равномерном распределении гороха (множества отмеченных точек), что соответствует нулевому значению дзета-функции.

Кстати, пилообразную функцию $y=|x|_{\pm 1}$ можно представить рядом Фурье $\frac{2}{\pi}\sum\limits_1^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(\pi kx)$, и тогда центр "тяжести" (дзета-функция Римана) будет вычисляться по формуле:

$$\zeta(s=a-ib)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(\pi k n^{1-a})n^{ib}.$$

Центр "тяжести" строится с учётом того, что комплексная плоскость намотана на сферу с дырками в полюсах.

[kkapitonets]

нетривиальный ноль \#4525, $s=0.5+5006.208381106i$

[bayak]

Геометрическая интерпретация дзеты в препринте (стр. 7) сместилась в сторону исследования движения такого математического маятника, конструкция которого использует тот факт, что в комплексной плоскости его можно отклонять на комплексный угол через обычный и гиперболический поворот.

[vicvolf]

bayak в сообщении #1418390 писал(а):

Геометрическая интерпретация дзеты в препринте (стр. 7) сместилась в сторону исследования движения такого математического маятника, конструкция которого использует тот факт, что в комплексной плоскости его можно отклонять на комплексный угол через обычный и гиперболический поворот.

Заголовок: Гипотеза Римана

[bayak]

Похоже, что положение нетривиальных нулей zfR связано с исключительным значением действительной части (0,5) угла отклонения двойного маятника

[vicvolf]

bayak в сообщении #1427894 писал(а):

Похоже, что положение нетривиальных нулей zfR связано с исключительным значением действительной части (0,5) угла отклонения двойного маятника

Вы опять неправильно формулируете. Можно написать, что положение нулей дзета -функции Римана напоминает (похоже) на значение действительной части угла отклонения двойного маятника и.т.д. Но оно никак с этим не связано!

[bayak]

vicvolf, может Вы и правы, но я всё же попытаюсь связать через интегральное преобразование колебаний двойного маятника.

[bayak]

bayak в сообщении #1427894 писал(а):

Похоже, что положение нетривиальных нулей связано с исключительным значением действительной части (0,5) угла отклонения двойного маятника

Посмотрите, пож., на тривиальные и нетривиальные нули эллиптического синуса $\mathrm{sn}(1+\mathrm{i},\frac{1}{2}+\mathrm{i}t)$. К сожалению я не могу сюда поместить график, но если вольфраму поручить построить график Plot[{Re[sn(1+i,0.5 + it)], Im[sn(1+i,0.5 +it)]},{t,-300,1000}], то он с этой задачей легко справится. Для того, чтобы избавиться от больших чисел в области положительных корней можно ещё попробовать заменить $t$ на $\log\tau$. Не правда ли, какое-то сходство с zfR уже просматривается.

[bayak]

bayak в сообщении #1429749 писал(а):

Для того, чтобы избавиться от больших чисел в области положительных корней можно ещё попробовать заменить $t$ на $\log\tau$. Не правда ли, какое-то сходство с zfR уже просматривается.

Пожалуй менять $t$ на $\log\tau$ не надо и на счёт сходства с zfR я поторопился. Надо ещё как-то отфильтровать колебания с составными периодами, оставив колебания только с простыми периодами. Возможно, что для этого с помощью интегрального преобразования надо зафиксировать период колебаний одного из маятников двойного маятника.