О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана

[bayak]

Введём обозначение:
$ \begin{equation*} |\rho|_{\pm 1}=|e^{z}|_{\pm 1}= \begin{cases} |e^{z}|_{2} \mbox{~если~} |e^{z}|_{2}\in[0,1]\\ |e^{z}|_{2}-2 \mbox{~если~} |e^{z}|_{2}\in ]1,2[, \end{cases} \end{equation} $
где $z\in \mathbb{R}$, $|\rho|_{2}\in[0,2[$, $|\rho|_{2}:\rho'\equiv \rho \pmod 2$.

Тогда сумма
$\begin{equation*} S(a,b)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}|e^{t_n-at_{n}}|_{\pm 1}e^{ibt_{n}}, \end{equation}$
где $t_{n}=\ln (n)$, представляет собой дзета-функцию Римана $\zeta (s)$.

В самом деле, поскольку
$\begin{equation*} S(s>1)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}, \end{equation}$
где $s=a+ib$, то осталось доказать сходимость суммы $S(s<1)$, которая скорее всего выполняется в силу того, что $|S(s<1)|$ меньше суммы гармонического ряда, так как почти всегда
$\begin{equation*} \left|\frac{1}{n}|e^{(1-s)t_{n}}|_{\pm 1}\right|<\frac{1}{n}. \end{equation} $

Таким образом, если это утверждение верно, то нули дзета-функции можно будет интерпретировать как некое равномерное распределение (при суммировании по Риссу, т.е. с весовыми коэффициентами $\frac{1}{n}$) точек на плоскости, натянутой на сферу.

[Руст]

Бред какой то.
Ясно, что

$\begin{equation*} S(a,b)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}|e^{t_n-at_{n}}|_{\pm 1}e^{ibt_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{a-ib}}=\zeta(\bar{s}), \end{equation}$
сходится только при $a>1$. Всякие помыслы с переобозначениями ни к чему не приводят.

[sergei1961]

Известно, что они неравномерно распределены. Можно почитать книгу Дербишира или спецлитературу, Монтгомери.

[bayak]

Руст в сообщении #745917 писал(а):

Бред какой то.
Ясно, что

Может быть и бред, но мне это не ясно. Буду благодарен Вам за пояснения.

sergei1961 в сообщении #745924 писал(а):

Известно, что они неравномерно распределены.

Кто они? Например В.В. Козлов в конце второго параграфа статьи пишет, что последовательность $\{c\ln n\}$, $c\ne 0$, будет $(R, 1/n)$-рр. Спасибо за отсыл к литературе, но я, наверно, недостаточно подготовлен для понимания того, что там написано.

[Sonic86]

bayak в сообщении #746230 писал(а):

Например В.В. Козлов в конце второго параграфа статьи
пишет, что последовательность $\{c\ln n\}$, $c\ne 0$, будет $(R, 1/n)$-рр.

Что значит это обозначение? Нетрудно доказать, что для $c>0$ последовательность $\{c\ln n\}$ не равномерно распределена по модулю 1. Можете посмотреть Кейперса Нидеррайтера Равномерное распределение - там этот факт в самом начале встречается несколько раз.

[bayak]

Sonic86 в сообщении #746253 писал(а):

Что значит это обозначение?

Означает суммирование по Риссу (с весовыми коэффициентами $1/n$). Кейперса, Нидеррайтера я смотрел, но там рассматривается равномерное распределение по модулю 1 с арифметическим суммированием.

Кстати, до меня дошло, что sergei1961 имел в виду нули дзета-функции. Я же говорю о каждом нуле дзета-функции как о равномерном распределении точек ($\rho_n, \varphi_n$) на плоскости, причём под равномерностью понимается попадание центра "тяжести" последовательности точек в нулевую точку плоскости.

[Руст]

bayak в сообщении #746257 писал(а):

Sonic86 в сообщении #746253 писал(а):

Что значит это обозначение?

Означает суммирование по Риссу (с весовыми коэффициентами $1/n$). Кейперса, Нидеррайтера я смотрел, но там рассматривается равномерное распределение по модулю 1 с арифметическим суммированием.

Кстати, до меня дошло, что sergei1961 имел в виду нули дзета-функции. Я же говорю о каждом нуле дзета-функции как о равномерном распределении точек ($\rho_n, \varphi_n$) на плоскости, причём под равномерностью понимается попадание центра "тяжести" последовательности точек в нулевую точку плоскости.

Пробежался по статье Козлова. Он этим занялся с эргодической точки зрения. Хотя тут тоже по сути подгонка к равномерному распределению с помощью преобразования. Встречаются случаи, когда (как первые цифры $2^n$ в десятичной записи) не являются равномерными в обычном (по Вейлю) смысле. Логарифмическим суммированием (с весами $\frac 1n$) по Риссу приводится к равномерности.

Но в этой статье ничего нет относительно дзета функции, о чем хотел обсудить bayak. Даже если $e^{\rho_n}$ по Риссу равномерно распределена на круге радиуса $\sqrt{e}$, то это ничего не дает. Это сильнее гипотезы Римана, так как для начала надо доказать, что все нетривиальные нули имеют действительную часть $\frac 12$. Соответственно, даже выдвигать это предположение (которое сильнее Г.Р) в виде гипотезы преждевременно, так как не видно, что оно дает для теории чисел.

[bayak]

Руст в сообщении #746272 писал(а):

Соответственно, даже выдвигать это предположение (которое сильнее Г.Р) в виде гипотезы преждевременно, так как не видно, что оно дает для теории чисел.

А если я Вам скажу, что аргумент дзета-функции определяет параметры спирали, на которой сидят точки ($\rho_n, \varphi_n$), а её значение задаёт центр "тяжести" этой последовательности, то это даст что-то для теории чисел?

[Руст]

bayak в сообщении #746290 писал(а):

А если я Вам скажу, что аргумент дзета-функции определяет параметры спирали, на которой сидят точки ($\rho_n, \varphi_n$), то это даст что-то для теории чисел?

Мне не понятна ваша фраза. Что такое "аргумент дзета функции"? Если об аргументе $\zeta(\rho_n)$ то он не определен, так как по определению $\zeta(\rho_n)=0$. Какая спираль, если $Re (\rho_n)=\frac 12$, то $e^{\rho_n)$ лежит на окружности радиуса $\sqrt(e)$?

Вообщем, выражайтесь точнее, чтобы вас поняли.

[sergei1961]

О чём речь идёт, уточните, пожалуйста. Что нули дзеты распределены на критической прямой равномерно? Или что-то другое?

[sergei1961]

В книге Дербишира "Простая одержимость" (есть в инете) есть и спиральки, на которые накручивается критическая прямая, чтобы понять ход дзета-функции в комплексной плоскости. Есть про то, что нули чем дальше, тем расположены гуще-то есть совсем неравномерно, насколько я помню. Есть про найденную загадочную корреляционную функцию нулей, что тоже исключает равномерное распределение.

А методами преобразования последовательности в равномерно распределённые не стоит на мой взгляд особо увлекаться: любую последовательность можно превратить например в последовательность только из единиц. Всего то надо взять весовое преобразование-умножить на подходящие множители!

А центр тяжести нулей, если я правильно понял о чём речь, конечно лежит на действительной оси, ведь нули на критической прямой расположены симметричными парами, сверху и снизу.

[Руст]

sergei1961 в сообщении #746352 писал(а):

Есть про то, что нули чем дальше, тем расположены гуще-то есть совсем неравномерно, насколько я помню. Есть про найденную загадочную корреляционную функцию нулей, что тоже исключает равномерное распределение.

Неправильно понимаете. Речь идет о распределении $e^{\rho_n}$, что эквивалентно распределению $\frac{T_n}{2\pi} \mod 1$, где $\rho_n=\frac 12 +iT_n$.
Как бы не сгущалась сама $T_n$, взяв их по модулю 1 обычно приведется к равномерности. Даже в более строгом смысле (как у в моей теме равномерность), чем в слабом (по Вейлю) смысле. Пример последовательности $x_n=\sqrt{n}$, на прямой распределение сгущается, но если брать по модулю 1, то получается равномерное распределение даже в строгом (как у меня) смысле.

Цитата:

А методами преобразования последовательности в равномерно распределённые не стоит на мой взгляд особо увлекаться: любую последовательность можно превратить например в последовательность только из единиц. Всего то надо взять весовое преобразование-умножить на подходящие множители!

Да, это надо делать только в некоторых особых случаях. Например, когда $x_n$ экспоненциально разрежалось и не подводилось к равномерности $x_n\mod 1$. Соответственно логарифмическим суммированием (с весами$\frac 1n)$ можно подвести к равномерности. Относительно нулей дзета функции (взятых по модулю $2\pi$) ничего не надо делать.

Цитата:

А центр тяжести нулей, если я правильно понял о чём речь, конечно лежит на действительной оси, ведь нули на критической прямой расположены симметричными парами, сверху и снизу.

[/quote]
Да, Риман свел задачу равномерности распределения простых к действительной части нулей дзета функции. Однако, это то же просто новая и бесполезная переформулировка исходной задачи о равномерности (в более строгом смысле) распределения простых чисел.

[sergei1961]

То есть расстояние между нулями дзеты распределено равномерно, то есть примерно одинаково?

[Руст]

sergei1961 в сообщении #746367 писал(а):

То есть расстояние между нулями дзеты распределено равномерно, то есть примерно одинаково?

абсолютно нет. Я приводил пример $\sqrt n$, дробные доли которых распределены равномерно, а сами сгущаются. Речь идет о равномерности при наматывании на окружность, т.е. при рассмотрении по модулю 1.

[sergei1961]

Так дробные доли распределены равномерно, это известно для дзеты?