Математический маятник с комплексным углом отклонения

[bayak]

bayak в сообщении #1426852 писал(а):

Но тут возникает вопрос - как из множества решений, минимизирующих это действие, выбрать замкнутые траектории, которые собственно и являются настоящими колебательными процессами.

Если решение представлено эллиптическим синусом с соответствующими аргументами $\sn(t + \mathrm{i}t, k)$, то кривая линия с $\mathrm{re}(k)=\frac{1}{2}$ заслуживает особого внимания, поскольку в случае вариации $\mathrm{im}(k)$ от минус бесконечности до плюс бесконечности кривая из вырожденного эллипса превращается в эллипс а затем в знак бесконечности (перевёрнутая восьмёрка с разрывом одной линии около места скрутки). В случае когда $\mathrm{re}(k)\ne\frac{1}{2}$ кривая линия в самом деле будет кривой. Кто-нибудь может поделиться ссылкой на соответствующие иллюстрации? Wolfram строит графики действительной и мнимой части эллиптического синуса по отдельности, а хотелось бы иметь на выходе график собственно кривой линии.

(Оффтоп)

Что-то функция эллиптического синуса у меня не отобразилась

[bayak]

Извиняйте хлопцы, немного наврал. На самом деле по мере изменения $\operatorname{Im}k$ от минус бесконечности до плюс бесконечности происходит изгибание отрезка прямой в знак бесконечности с постепенным уменьшением разрыва. Не знаю как сюда загнать эти параметрические графики, но если вы вставите в Wolframalpha вот этот пример:
ParametricPlot[{Re[sn(t+it,0.5 +5 i)], Im[sn(t+it,0.5 +5 i)]},{t,-4,4}] и поэкспериментируете с величиной $\operatorname{Im}k$, то сами убедитесь. Вообще, эти графики (при произвольном параметре $k$) завораживают - математика тут создаёт красоту необыкновенную. Подставьте, например ParametricPlot[{Re[sn(t+it,0.9 +5 i)], Im[sn(t+it,0.9 +5 i)]},{t,-4,4}] или вот это ParametricPlot[{Re[sn(t+it,5 +25 i)], Im[sn(t+it,5 +25 i)]},{t,-4,4}] или ParametricPlot[{Re[sn(t+it,5 -25 i)], Im[sn(t+it,5 -25 i)]},{t,-4,4}] Не правда ли,- красиво.

[pogulyat_vyshel]

bayak в сообщении #1427712 писал(а):

Математический маятник с комплексным углом отклонения

эта поляна уже занята вашими братьями по разуму Адлаем и Абраровым

[Утундрий]

bayak в сообщении #1427712 писал(а):

Что-то функция эллиптического синуса у меня не отобразилась

\mathrm{sn} (t + \mathrm{i} t, k)

$\mathrm{sn} (t + \mathrm{i} t, k)$

[bayak]

pogulyat_vyshel, спасибо за имена.

Цитата:

Отметим работу [69], со ссылкой на работу Аппеля [50], в которой в результате исследования четвёртой задачи списка даётся механическая интерпретация мнимому периоду колебания, как соответствующему смене направления силы тяжести на противоположное. Такое видение двоякопериодичности, на примере движения маятника, оказывается полезным и на примере исследуемой в диссертации задачи о равновесии нити в линейном параллельном поле сил.

из введения диссертации Адлая Семёна Франковича.
Утундрий, спасибо за код.

Как вам вот эта дыня: ParametricPlot[{Re[sn(t+it, -25 i)], Im[sn(t+it, -25 i)]},{t,-10,10}]
или вот эти уши: ParametricPlot[{Re[sn(t+it, 25 i)], Im[sn(t+it, 25 i)]},{t,-10,10}]
Кстати, кто-нибудь может поместить сюда пару фигур?

[bayak]

Одно замечательное наблюдение - параметрические графики функции $\mathrm{sn}(t + \mathrm{i}t, \frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$ при $\tau>>0$ и функции $\mathrm{sn}(1 + \mathrm{i}, \frac{1}{2} + \mathrm{i}t)$ удивительно похожи (те же яйца). Не удивлюсь, если в пределе $\tau\to\infty$ они совпадают. Кстати, корни функции $\mathrm{sn}(1 + \mathrm{i}, \frac{1}{2} + \mathrm{i}t)$ лежат в области отрицательных $t$, но не мешало бы подействовать на неё интегральным преобразованием и посмотреть куда поедут корни образа.

Чтобы убедиться, что я вас не обманываю, взгляните, пожалуйста, на этот график: ParametricPlot[{Re[sn(1+i, 0.5 +it)], Im[sn(1+i, 0.5 + it)]},{t,-100,500}]

[bayak]

bayak в сообщении #1426852 писал(а):

Всё же вернёмся к истокам. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я понимаю постановку задачи.
Итак, если перед нами стоит задача о моделировании колебаний с комплексным углом отклонения, то нам не обойтись без конструирования действия такой колебательной системы. Предлагаю следующий вариант:

$$S = \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\gamma}{dt}\right)^2 - \int\limits_{\varphi_0,\gamma_0}^{\varphi(t),\gamma(t)}\sin\varphi\cosh\gamma d\varphi + \sinh\gamma\cos\varphi d\gamma$$

с дополнительными начальными условиями для угловых скоростей $\frac{d\varphi}{dt}$, $\frac{d\gamma}{dt}$. По крайней мере, именно такое действие порождает требуемое дифференциальное уравнение колебаний с комплексным аргументом. Но тут возникает вопрос - как из множества решений, минимизирующих это действие, выбрать замкнутые траектории, которые собственно и являются настоящими колебательными процессами.

Итак, в результате математических экспериментов мне показалось, что колебания комплексного маятника возникают только в том случае, когда угол отклонения маятника удовлетворяет уравнению $\sin\varphi_{0}\cosh\gamma_{0}=\frac{1}{2}$. В этой связи заметим, что малыми колебаниями комплексного маятника можно считать те, у которых параметр эллиптического синуса равен $k=\frac{1}{2}+\mathrm{i}\tau$, где $|\tau|\to 0$, а полным комплексным периодом колебаний считать эллиптический интеграл $F(\frac{\pi}{2}(1+\mathrm{i}),\frac{1}{2}+\mathrm{i}\tau)$. Если посмотреть на график этого интеграла, то мы увидим, что мнимая часть полного комплексного периода постоянна, а действительная часть представляет собой ступеньку. Интересно было бы сравнить этот ступенчатый график с тривиальным графиком $F(\frac{\pi}{2},\frac{1}{2}+\mathrm{i}\tau)$ стандартного полного периода и понять, что эта ступенька означает для динамики колебаний двойного маятника.

[bayak]

bayak в сообщении #1429435 писал(а):

Итак, в результате математических экспериментов мне показалось, что колебания комплексного маятника возникают только в том случае, когда угол отклонения маятника удовлетворяет уравнению $\sin\varphi_{0}\cosh\gamma_{0}=\frac{1}{2}$. В этой связи заметим, что малыми колебаниями комплексного маятника можно считать те, у которых параметр эллиптического синуса равен $k=\frac{1}{2}+\mathrm{i}\tau$, где $|\tau|\to 0$, а полным комплексным периодом колебаний считать эллиптический интеграл $F(\frac{\pi}{2}(1+\mathrm{i}),\frac{1}{2}+\mathrm{i}\tau)$. Если посмотреть на график этого интеграла, то мы увидим, что мнимая часть полного комплексного периода постоянна, а действительная часть представляет собой ступеньку. Интересно было бы сравнить этот ступенчатый график с тривиальным графиком $F(\frac{\pi}{2},\frac{1}{2}+\mathrm{i}\tau)$ стандартного полного периода и понять, что эта ступенька означает для динамики колебаний двойного маятника.

Поэкспериментировал также с колебаниями двойного маятника при больших углах отклонения и оказалось, что если $\tau = \exp(\mathrm{e})$, то период колебаний двойного маятника, который вычисляется как период функции $\mathrm{sn}(t+\mathrm{i}t,\frac{1}{2}+\exp(\mathrm{e}))$, равен четырём секундам. Убедитесь сами, подставив в вольфрам:
Plot[{Re[sn(t + it,0.5 + i*exp(e))]}, {Im[sn(t + it,0.5 + i*exp(e))]}, {t,0,4}]
С подачи модератора:
Plot[{Re[sn(t + it,0.5 + i*exp(e))]}, {Im[sn(t + it,0.5 + i*exp(e))]}, {t,0,4}]
Интересно теперь понять как получить произвольный целый период и как вообще период колебаний двойного маятника связан с комплексным периодом. Насколько я понимаю, комплексный период возвращает нам периоды колебаний составляющих маятников двойного маятника по отдельности, а просто период объединяет эти периоды в одно число, возможно, равное произведению действительного и мнимого периодов. Есть какие-нибудь мысли на этот счёт?

[Pphantom]

bayak, пожалуйста, набирайте код с использованием тега "tt", он будет лучше смотреться и читаться:
Plot[{Re[sn(t + it,0.5 + i*exp(e))]}, {Im[sn(t + it,0.5 + i*exp(e))]}, {t,0,4}]

[Aritaborian]

bayak, я понимаю, что Альфа Степановна и не такое может проглотить и переварить, но вы хотя бы указывайте, что приводимые вами макароны по-флотски не являются кодом на Wolfram Language, а лишь текстом запроса к онлайн-сервису. Впрочем, кому это нужно...

[bayak]

Aritaborian, честно говоря, даже не знал про такие тонкости. А где собственно находится руководство по этим кодам?

[Aritaborian]

Не по кодам, а по языку. Я думал, вы в Mathematica что-то сечёте, а оказалось вона как. Кароч, забейте... Но если что, вот документация по Wolfram Language.

[bayak]

bayak в сообщении #1430301 писал(а):

Интересно теперь понять как получить произвольный целый период и как вообще период колебаний двойного маятника связан с комплексным периодом. Насколько я понимаю, комплексный период возвращает нам периоды колебаний составляющих маятников двойного маятника по отдельности, а просто период объединяет эти периоды в одно число, возможно, равное произведению действительного и мнимого периодов. Есть какие-нибудь мысли на этот счёт?

Если присмотреться более внимательно, то окажется, что на самом деле всё не так. Во-первых, период функции $\mathrm{sn}(t + \mathrm{i}t,\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$ немного растёт (от 7,45 до 7,75) только на интервале $0<\left\lvert\tau\right\rvert<1$, а затем только убывает. Во-вторых, простой зависимости между комплексным четверть-периодом $K(\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$ и периодом функции $\mathrm{sn}(t + \mathrm{i}t,\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$, на которую я указывал выше, не существует. Наверно стоит также отметить, что евклидова длина (модуль комплексного числа) четверть-периода монотонно убывает с ростом модуля параметра $\tau$, а псевдоевклидова длина (квадратный корень из произведения мнимой и действительной части) четверть-периода всё же сначала растёт, а потом убывает, но в отличие от периода функции $\mathrm{sn}(t + \mathrm{i}t,\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$ начинает расти с нулевого значения. Возможно в нашем случае лучше обращаться не к полному интегралу $K(\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$, а к интегралу $F(\frac{\pi}{2}(1 + \mathrm{i}),\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$. Как всегда, буду рад получить от вас любую помощь.

[bayak]

bayak в сообщении #1430917 писал(а):

Возможно в нашем случае лучше обращаться не к полному интегралу $K(\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$, а к интегралу $F(\frac{\pi}{2}(1 + \mathrm{i}),\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$. Как всегда, буду рад получить от вас любую помощь.

Действительно, экспериментируя с графиками, удалось установить, что функция $T = 4\pi \operatorname{Re}F(\frac{\pi}{2}(1 + \mathrm{i}),\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$, возможно, возвращает период функции $\mathrm{sn}(t + \mathrm{i}t,\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$.
В строку запроса вольфрама следует вставить:
Plot[{Re[ellipticF(\frac{\pi}{2}(1+i),0.5 + i\tau)]},{\tau,0,10}]

Тут же возникает вопрос о предназначении $\operatorname{Im}F(\frac{\pi}{2}(1 + \mathrm{i}),\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$ (впрочем, понятно, что это период синуса от аргумента $t - \mathrm{i}t$)

Однако мне всё это перестаёт нравиться - вожусь с графиками, а выйти на аналитику не получается. Дайте хоть какую-нибудь подсказку.

[bayak]

bayak в сообщении #1431712 писал(а):

Однако мне всё это перестаёт нравиться - вожусь с графиками, а выйти на аналитику не получается. Дайте хоть какую-нибудь подсказку.

Самостоятельно разобрался с вопросом о периодичности функции $\mathrm{sn}(t + \mathrm{i}t,\frac{1}{2} + \mathrm{i}\tau)$. Ларчик просто открывался - секрет в том, что диагональ параллелограмма периодов ложится на ось времени $t + \mathrm{i}t$ только тогда, когда действительная часть параметра эллиптического синуса равна $\frac{1}{2}$. Мне также теперь лучше понятна причина двоякопериодичности эллиптического синуса - в комплексном (обычном и гиперболическом) угле отклонения нашего маятника скрываются два обычных угла задающих окружностей тора, для чего достаточно вспомнить о функции Гудермана, связывающей гиперболический евклидов углы поворота маятника. Но вот самостоятельно разобраться с преобразованием эллиптического синуса при произвольных цело-численных дробно-линейных (модулярных) преобразованиях его параметра без вашей помощи у меня вряд ли получится. Как он преобразуется при дискретных преобразованиях (сдвиге на единичку и обращении) понятно, а при произвольных - не улавливаю.